Vecteurs position, vitesse et accélération

Le vecteur position dit où est l'objet, le vecteur vitesse dit comment sa position change, et le vecteur accélération dit comment sa vitesse change : chacun est la dérivée du précédent.

Objectifs

Définir le vecteur position dans un repère d'espace lié à un référentiel.
Définir les vecteurs vitesse et accélération comme des dérivées par rapport au temps.
Calculer leurs coordonnées à partir des équations horaires.
Utiliser le repère de Frenet pour un mouvement circulaire.
Caractériser les mouvements rectiligne uniforme, rectiligne uniformément varié et circulaire uniforme.

1. Le vecteur position

Notions clés

On étudie le mouvement d'un point \(M\) dans un référentiel (souvent terrestre), muni d'un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) et d'une horloge. Le vecteur position est :

\[\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}\]

\(x(t)\), \(y(t)\), \(z(t)\) sont les équations horaires du mouvement, en mètres.
La trajectoire est l'ensemble des positions occupées par \(M\) au cours du temps. On obtient son équation en éliminant \(t\) entre les équations horaires.
La trajectoire dépend du référentiel : la valve d'une roue de vélo décrit un cercle pour le cycliste mais une courbe en arceaux pour un passant sur le trottoir.

Les équations horaires d'un point sont x = 2t et y = 4t (en m et s). Quelle est sa trajectoire ?

Une parabole
Une droite d'équation y = 2x
Un cercle

On élimine t : t = x/2, donc y = 4 × x/2 = 2x. C'est une droite passant par l'origine.

2. Le vecteur vitesse

Définition

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

\[\vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t} = \dot{x}\,\vec{i} + \dot{y}\,\vec{j} + \dot{z}\,\vec{k}\]

Coordonnées : \(v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\), \(v_y = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\), \(v_z = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\), en \(\mathrm{m\cdot s^{-1}}\).
Valeur : \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\).
Direction : tangente à la trajectoire au point \(M\) ; sens : celui du mouvement.

3. Le vecteur accélération

Définition

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

\[\vec{a}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^2} = \ddot{x}\,\vec{i} + \ddot{y}\,\vec{j} + \ddot{z}\,\vec{k}\]

Unité : \(\mathrm{m\cdot s^{-2}}\).
Il y a accélération dès que la valeur ou la direction de la vitesse change.
Pour une trajectoire courbe, \(\vec{a}\) est orienté vers l'intérieur de la courbure (côté concave).

Le vecteur position relie l'origine O du repère au point M.

Le vecteur vitesse part de M et est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.

Sur une trajectoire courbe, le vecteur accélération pointe vers l'intérieur de la courbe.

Une voiture prend un virage à vitesse de valeur constante (60 km/h au compteur). Son accélération est :

nulle, car la valeur de la vitesse ne change pas
dirigée vers l'extérieur du virage
non nulle, dirigée vers l'intérieur du virage

La direction du vecteur vitesse change dans un virage : l'accélération n'est pas nulle. Elle pointe vers l'intérieur de la courbe.

4. Le repère de Frenet et le mouvement circulaire

Notions clés

Le repère de Frenet \((M\,;\vec{u}_t,\vec{u}_n)\) est attaché au point mobile : \(\vec{u}_t\) est tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement, \(\vec{u}_n\) est perpendiculaire et dirigé vers le centre de la trajectoire. Pour un mouvement circulaire de rayon \(R\) :

\[\vec{v} = v\,\vec{u}_t \qquad \vec{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_t + \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_n\]

\(a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\) : accélération tangentielle, liée au changement de valeur de la vitesse.
\(a_n = \dfrac{v^2}{R}\) : accélération normale, liée au changement de direction.
Mouvement circulaire uniforme : \(v\) constante, donc \(a_t = 0\) et \(\vec{a} = \dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_n\) : l'accélération est centripète (dirigée vers le centre) et de valeur \(\dfrac{v^2}{R}\).

À toi : place chaque nom sur la figure d'un mouvement circulaire uniforme.

Dans un mouvement circulaire uniforme, si on double la vitesse sans changer le rayon, l'accélération est :

multipliée par 4
multipliée par 2
inchangée

a = v²/R : si v est multipliée par 2, v² est multipliée par 4, donc a aussi.

5. Les mouvements à connaître

Rectiligne uniforme : trajectoire droite, \(\vec{v}\) constant, \(\vec{a} = \vec{0}\). Équation horaire : \(x(t) = v\,t + x_0\).
Rectiligne uniformément varié : trajectoire droite, \(\vec{a}\) constant. Équations horaires : \[v(t) = a\,t + v_0 \qquad x(t) = \frac{1}{2}a\,t^2 + v_0\,t + x_0\] Le mouvement est accéléré si \(\vec{a}\) et \(\vec{v}\) ont le même sens, ralenti s'ils sont de sens contraires.
Circulaire uniforme : trajectoire circulaire, valeur de \(v\) constante, \(\vec{a}\) centripète de valeur \(\dfrac{v^2}{R}\).

Manipule les équations horaires

Le graphique trace, en fonction du temps (en s), avec p la position initiale, la position x(t) en mètres et la vitesse v(t) en m/s d'un mouvement rectiligne uniformément varié. Avec a = 0, tu obtiens un mouvement uniforme : la vitesse devient une droite horizontale. Avec a négatif, la voiture freine.

Un objet a pour équation horaire x(t) = 3t + 2 (en m et s). Son mouvement est :

rectiligne uniformément accéléré
rectiligne uniforme à 3 m/s
rectiligne uniforme à 2 m/s

v = dx/dt = 3 m/s, constante : le mouvement est rectiligne uniforme. Le 2 est la position initiale, en mètres.

6. Exemples résolus

Exemple 1 : du vecteur position à l'accélération

Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

a) On dérive : \(v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\) et \(v_y = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -10t + 4\).

On dérive encore : \(a_x = 0\) et \(a_y = -10\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\). L'accélération est constante, verticale, vers le bas.

b) À \(t = 1\ \mathrm{s}\) : \(v_x = 3\) et \(v_y = -10 + 4 = -6\), donc \(v = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{45} \approx 6{,}7\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

c) \(t = \dfrac{x}{3}\), donc \(y = -5\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 + 4\,\dfrac{x}{3} + 1 = -\dfrac{5}{9}x^2 + \dfrac{4}{3}x + 1\) : la trajectoire est une portion de parabole.

Exemple 2 : démarrage d'une voiture

Voir la solution

\begin{align} v &= 72\ \mathrm{km\cdot h^{-1}} = \frac{72}{3{,}6} = 20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\\ a &= \frac{v - v_0}{t} = \frac{20 - 0}{10} = 2{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\\ d &= \frac{1}{2}a\,t^2 = \frac{1}{2} \times 2{,}0 \times 10^2 = 100\ \mathrm{m} \end{align}

Exemple 3 : moto-taxi sur un rond-point

Voir la solution

\(v = \dfrac{36}{3{,}6} = 10\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\). Le mouvement est circulaire uniforme, donc l'accélération est centripète :

\[a = \frac{v^2}{R} = \frac{10^2}{20} = 5{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\]

Le vecteur \(\vec{a}\) est dirigé de la moto vers le centre du rond-point, et sa valeur est \(5{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\).

7. Erreurs fréquentes

Une vitesse de 54 km/h vaut :

194 m/s
54 m/s
15 m/s

On divise par 3,6 : 54/3,6 = 15 m/s.

Récapitulatif

\(\overrightarrow{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}\) : la position, dans un référentiel donné.
\(\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\), tangent à la trajectoire.
\(\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\), non nul dès que la vitesse change en valeur ou en direction.
Repère de Frenet : \(\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{u}_t + \dfrac{v^2}{R}\vec{u}_n\).
Rectiligne uniforme : \(\vec{a} = \vec{0}\) ; uniformément varié : \(\vec{a}\) constant ; circulaire uniforme : \(a = \dfrac{v^2}{R}\), centripète.

Vecteur position

\(\overrightarrow{OM}(t)\), dont les coordonnées sont les équations horaires.

Vecteur vitesse

Dérivée de \(\overrightarrow{OM}\), tangent à la trajectoire, en m/s.

Vecteur accélération

Dérivée de \(\vec{v}\), en \(\mathrm{m\cdot s^{-2}}\).

Repère de Frenet

\(\vec{u}_t\) tangent, \(\vec{u}_n\) vers le centre ; \(a_n = v^2/R\).

Mouvement circulaire uniforme

Vitesse de valeur constante, accélération centripète \(v^2/R\).