Objectifs

• Comprendre les trois vecteurs fondamentaux : position r(t), vitesse v(t) et accélération a(t).
• Appliquer les définitions et les relations v = dr/dt et a = dv/dt.
• Utiliser les équations du mouvement dans les cas 1D et 2D, avec des exemples simples.
• Différencier vitesse moyenne et vitesse instantanée et interpréter les directions.

Notions de base (grandeurs et vecteurs)

Les grandeurs cinématiques peuvent être scalaires (longueurs, temps) ou vectorielles (position, vitesse, accélération). Un vecteur r est décrit par ses composantes dans un référentiel choisi, par exemple r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Vecteur position r(t)

Le vecteur position indique l'emplacement du point étudié à l'instant t. Dans l'espace, r(t) peut s'écrire en coordonnées cartésiennes: r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Unités: m (mètre). Exemple: si une particule est en mouvement dans le plan, r(t) = (x(t), y(t)).

Vecteur vitesse v(t)

Le vecteur vitesse est la dérivée temporelle du vecteur position: v(t) = dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt). Il indique la rapidité et la direction du déplacement.

Vitesse moyenne sur un intervalle Δt: v̄ = Δr / Δt. Vitesse instantanée: v(t) lorsque Δt → 0.

Direction: tangente à la trajectoire et orientation dans le sens du mouvement.

Vecteur accélération a(t)

L'accélération est la dérivée temporelle de la vitesse: a(t) = dv/dt = d²r/dt². Elle mesure le taux de variation de la vitesse et peut décliner en composantes selon la direction et le changement de trajet.

Décomposition utile en 1D/2D: a peut être décomposée en composante tangentielle a_t = dv/dt (variation de la vitesse le long de la trajectoire) et composante normale a_n liée au changement de direction (pour les trajectoires courbes).

Exemple courant: mouvement curviligne où la vitesse peut varier et la direction peut changer.

Relations utiles et exemples typiques

• Relation générale: v = dr/dt et a = dv/dt = d²r/dt².
• Mouvement rectiligne uniforme (MRU): vitesse constante v = v0, accélération nulle a = 0; position s(t) = s0 + v0 t.
• Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA): accélération constante a; vitesse v(t) = v0 + a t; position s(t) = s0 + v0 t + (1/2) a t²; relation v² = v0² + 2 a (s − s0).
• Pour un mouvement dans le plan (2D/3D): x(t), y(t), z(t) et r(t) = (x, y, z); v(t) = (dx/dt, dy/dt, dz/dt), a(t) = (d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt²).

Exemple guidé

Exemple: une particule a pour position initiale r0 = (0, 0) m et vitesse initiale v0 = (3, 4) m/s. Supposons une accélération constante a = (0, -9.8) m/s² (gravité vers le bas).

Après t = 2 s, le vecteur vitesse est v(t) = v0 + a t = (3, 4) + (0, -9.8) × 2 = (3, -15.6) m/s.

La vitesse instantanée a une norme |v| = sqrt(3² + (-15.6)²) ≈ 15.9 m/s et la direction est vers le bas et légèrement vers la droite.

Points-clés

• Les vecteurs position, vitesse et accélération décrivent le mouvement et ses variations dans le temps.
• v = dr/dt et a = dv/dt = d²r/dt²; les cas simples (MRU, MRUA) donnent des formules directement utilisables.
• On peut décomposer a en composante tangentielle et normale pour interpréter les variations de trajectoire.