Introduction aux vecteurs

Un vecteur est une grandeur qui possède une direction, un sens et une longueur. On le représente souvent par une flèche. Par exemple, à l’école, on peut modéliser une force ou un parcours par un vecteur.

Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), noté \(ec{u} \cdot ec{v}\), est un nombre qui donne une information sur l'angle entre ces deux vecteurs. Il se calcule de la manière suivante si les vecteurs sont donnés par leurs composantes :

Formule :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]

pour un vecteur \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2, v_3)\). Si le vecteur est dans un plan, on a seulement deux composantes : \(ec{u} = (u_1, u_2)\).

Propriétés :

• Le produit scalaire est un nombre réel.
• Étant donne \(ec{u}\) et \(ec{v}\), on a : \(ec{u} \cdot ec{v} = |ec{u}| |ec{v}| \cos heta\), où \( heta\) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\).
• Le produit scalaire est nul si et seulement si \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont perpendiculaires (\( heta = 90^\circ\)).

Le produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), noté \(ec{u} imes ec{v}\), est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux. Il est utilisé en égétique, par exemple, pour Calculer des moments ou des surfaces.

Formule :

\[ ec{u} imes ec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1) \]

pour des vecteurs \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2, v_3)\).

Propriétés :

• Le vecteur \(ec{u} imes ec{v}\) est orthogonal à \(ec{u}\) et \(ec{v}\).
• Étant donné \(ec{u}\) et \(ec{v}\), \(\left| ec{u} imes ec{v} ight| = |ec{u}| |ec{v}| \sin heta\), où \( heta\) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\).
• Le sens du vecteur \(ec{u} imes ec{v}\) est donné par la règle de la main droite.