Objectifs

• Calculer une vitesse moyenne avec \(v_{moy} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}\) et convertir entre \(\mathrm{m/s}\) et \(\mathrm{km/h}\).
• Lire une vitesse comme la pente d'un graphe position-temps.
• Comprendre et estimer une vitesse instantanée à partir d'une chronophotographie.

Notions clés

1. La vitesse moyenne

On repère la position d'un point mobile sur un axe par son abscisse \(x\). Entre les instants \(t_1\) et \(t_2\), il passe de \(x_1\) à \(x_2\). Sa vitesse moyenne est :

• \(\Delta x\) : déplacement, en mètres \((\mathrm{m})\) ;
• \(\Delta t\) : durée, en secondes \((\mathrm{s})\) ;
• \(v_{moy}\) : vitesse moyenne, en mètres par seconde \((\mathrm{m/s}\) ou \(\mathrm{m\cdot s^{-1}})\).

Conversion utile : \(1\ \mathrm{h} = 3600\ \mathrm{s}\) et \(1\ \mathrm{km} = 1000\ \mathrm{m}\), donc

2. La vitesse, pente du graphe position-temps

On trace la position \(x\) en fonction du temps \(t\). Entre deux points du graphe, \(\Delta x\) est la « montée » et \(\Delta t\) l'« avancée » : leur rapport \(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\) est la pente (ou coefficient directeur) du segment. La vitesse moyenne entre deux instants est donc la pente de la droite qui joint les deux points correspondants.

Ici la pente vaut \(\dfrac{10\ \mathrm{m}}{2\ \mathrm{s}} = 5\ \mathrm{m/s}\). Lecture du graphe :

• droite qui monte : le mobile avance dans le sens de l'axe, à vitesse constante ;
• droite plus raide : vitesse plus grande ;
• segment horizontal : la position ne change pas, le mobile est à l'arrêt \((v = 0)\) ;
• droite qui descend : le mobile revient vers l'origine, \(\Delta x < 0\) donc \(v_{moy} < 0\).

Manipule les curseurs : \(v\) est la pente (la vitesse) et \(x_0\) la position au départ.

3. La vitesse instantanée

La vitesse instantanée à l'instant \(t\) est la vitesse moyenne calculée sur une durée très courte autour de \(t\). Plus la durée est courte, plus on se rapproche de la vitesse à cet instant précis.

Sur une chronophotographie de positions \(M_0, M_1, M_2, \dots\) prises à intervalles égaux \(\tau\), on estime la vitesse au point \(M_i\) avec les deux positions qui l'encadrent :

Sur un graphe position-temps courbe, la vitesse instantanée à un instant est la pente de la tangente à la courbe en ce point.

flowchart LR
A[Deux positions et deux dates] --> B[Calculer Delta x et Delta t]
B --> C[Vitesse moyenne]
C --> D[Reduire la duree autour de t]
D --> E[Vitesse instantanee]

Exemples résolus

Exemple 1 : le car de Kofi

Le car parcourt \(70\ \mathrm{km}\) en ligne droite (on le suppose pour simplifier), de 8 h 00 à 9 h 15. Calcule sa vitesse moyenne en km/h puis en m/s.

Exemple 2 : lire la pente

Le footing d'Awa donne : \(t = 0\ \mathrm{s}\), \(x = 0\ \mathrm{m}\) ; \(t = 2\ \mathrm{s}\), \(x = 10\ \mathrm{m}\) ; \(t = 4\ \mathrm{s}\), \(x = 20\ \mathrm{m}\) ; \(t = 6\ \mathrm{s}\), \(x = 30\ \mathrm{m}\). Calcule sa vitesse entre 2 s et 6 s. Le mouvement est-il uniforme ?

Exemple 3 : vitesse instantanée sur une chronophotographie

Une bille roule sur une table. Les images sont prises toutes les \(\tau = 0{,}04\ \mathrm{s}\). On mesure, en taille réelle, \(M_3M_5 = 6{,}0\ \mathrm{cm}\). Estime la vitesse de la bille au point \(M_4\).

Erreurs fréquentes

• Écrire \(1\ \mathrm{h}\ 15\ \mathrm{min} = 1{,}15\ \mathrm{h}\) : c'est faux, \(15\ \mathrm{min} = 0{,}25\ \mathrm{h}\).
• Multiplier par 3,6 au lieu de diviser (et inversement) : une vitesse en km/h est toujours un nombre plus grand que la même vitesse en m/s.
• Confondre vitesse moyenne et vitesse instantanée : un trajet à 56 km/h de moyenne peut contenir des moments à 80 km/h et des arrêts.
• Pour la vitesse instantanée en \(M_i\), diviser par \(\tau\) au lieu de \(2\tau\).

Récapitulatif

• \(v_{moy} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}\), en \(\mathrm{m/s}\) ; \(1\ \mathrm{m/s} = 3{,}6\ \mathrm{km/h}\).
• Sur un graphe position-temps, la vitesse est la pente ; horizontal signifie à l'arrêt.
• Vitesse instantanée : vitesse moyenne sur une durée très courte ; \(v_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}\).
• Mouvement uniforme : vitesse constante, graphe position-temps en ligne droite.