Volumes de solides usuels : formules et calculs

Ce cours explique comment calculer le volume des solides simples que l’on rencontre souvent.

Objectifs

Savoir connaître les formules de volume des solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, pyramide, cône, sphère.
Savoir appliquer ces formules à des exercices variés.

Volume d’un cube : \[ V = a^3 \] où \( a \) est la longueur d’un côté.
Volume d’un pavé droit : \[ V = L \times l \times h \] avec \( L, l, h \) longueurs de ses arêtes.
Volume d’un cylindre : \[ V = \pi r^2 h \] où \( r \) est le rayon de la base et \( h \) la hauteur.
Volume d’une pyramide : \[ V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times h \]
Volume d’un cône : \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
Volume d’une sphère : \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Soit un cylindre de rayon \( r=3\,cm \) et de hauteur \( h=10\,cm \). Trouvons son volume.

Voir la solution

On identifie la formule : \[ V = \pi r^2 h \]

On remplace par : \[ V = \pi \times 3^2 \times 10 \]

Calculons : \[ V = \pi \times 9 \times 10 \]

Ce qui donne : \[ V = 90 \pi \]

En approximateur numérique : \[ V \approx 90 \times 3,14 = 282,6\,cm^3 \]

Quelle est la formule générale pour le volume d’un cylindre ?

La bonne réponse est la première car elle correspond à la formule du volume d’un cylindre.

Utiliser la mauvaise formule pour le solide donné.
Confondre la longueur du rayon avec le diamètre dans la formule du cylindre ou de la sphère.
Oublier de multiplier par \(\pi\) ou d’élever au carré le rayon.

Cube

Volume = a^3, où a est la longueur du côté

Pyramide

Volume = 1/3 × aire de la base × h

Cône

Volume = 1/3 × π r^2 h

Sphère

Volume = 4/3 × π r^3

Cylindre

Volume = π r^2 h