Alignement de points, intersection, parallélisme : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre

Pour vérifier l'alignement de A, B, C on calcule \((x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)=0\).

Vrai — C'est la condition donnée par le déterminant nul équivalente à la colinéarité des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

Le déterminant nul signifie que \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

Vrai — La nullité du déterminant exprime exactement la colinéarité des deux vecteurs issus de A.

Deux droites de pentes différentes se coupent en un seul point.

Vrai — Si \(m_1\neq m_2\) le système conduit à une unique solution pour \(x\) puis \(y\), donc une intersection unique.

Pour trouver l'intersection on écrit \(m_1x+p_1=m_2x+p_2\).

Vrai — On égalise les deux expressions de \(y\) issues des équations \(y=m_1x+p_1\) et \(y=m_2x+p_2\).

Si \(m_1\neq m_2\) alors \(x=\frac{p_2-p_1}{m_1-m_2}\).

Vrai — En isolant \(x\) dans \(m_1x+p_1=m_2x+p_2\) on obtient bien cette formule.

Après avoir trouvé \(x\) on calcule \(y\) par \(y=m_1x+p_1\).

Vrai — Il suffit de remplacer la valeur de \(x\) dans l'une des deux équations de droite pour obtenir \(y\).

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente \(m_1=m_2\).

Vrai — Le cours rappelle que l'égalité des pentes caractérise le parallélisme des droites.

Si deux droites ont la même pente et \(p_1\neq p_2\) alors elles ne se croisent jamais.

Vrai — Même pente différente ordonnée à l'origine signifie droites distinctes et sans intersection.

Si deux droites ont exactement la même équation alors elles sont confondues.

Vrai — Si les deux équations coïncident alors elles représentent le même ensemble de points, donc sont confondues.

L'égalité du déterminant écrite est une condition nécessaire et suffisante d'alignement.

Vrai — La condition donnée par le déterminant nul est équivalente à l'alignement des trois points.

Si le déterminant vaut 1 alors A, B, C sont alignés.

Faux — Le déterminant doit valoir exactement \(0\) pour que les points soient alignés, pas \(1\).

Pour l'intersection on calcule \(x=\frac{m_1-m_2}{p_2-p_1}\).

Faux — La formule correcte inverse numérateur et dénominateur: \(x=\frac{p_2-p_1}{m_1-m_2}\).

Deux droites de même pente sont toujours la même droite.

Faux — Elles peuvent être distinctes si leurs ordonnées à l'origine \(p_1\) et \(p_2\) sont différentes.

Si \(m_1=m_2\) alors le système donne forcément \(x=0\).

Faux — Lorsque \(m_1=m_2\) l'équation sur \(x\) disparaît et on ne peut pas conclure \(x=0\) en général.

Les points A, B, C sont alignés si \((x_B-x_A)(y_C-y_A)+(x_C-x_A)(y_B-y_A)=0\).

Faux — Le signe devant le second terme doit être négatif dans la condition d'alignement donnée par le cours.

On ne peut pas utiliser le déterminant si une coordonnée vaut zéro.

Faux — La présence d'une coordonnée nulle n'empêche pas le calcul du déterminant ni la vérification d'alignement.

Si \(p_1=p_2\) alors les droites sont parallèles.

Faux — L'égalité des ordonnées à l'origine ne garantit pas le parallélisme; il faut comparer les pentes \(m_1\) et \(m_2\).

Pour vérifier l'alignement, il suffit de comparer seulement les abscisses.

Faux — Comparer uniquement les abscisses ignore les ordonnées; l'alignement nécessite la condition du déterminant.

Si \(m_1\neq m_2\) les droites n'ont pas d'intersection.

Faux — C'est l'inverse : si \(m_1\neq m_2\) alors les droites se coupent en un point unique.

L'égalité \(m_1=m_2\) implique que \(p_1=p_2\).

Faux — Pentes égales ne forcent pas les ordonnées à l'origine à être égales; elles peuvent être différentes.

Pour tester l'alignement, on compare les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

La comparaison se fait entre \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) pour vérifier la colinéarité.

Les trois points sont alignés si le déterminant vaut 0.

L'alignement équivaut à la nullité du déterminant, donc sa valeur est 0.

Le développement du déterminant donne l'équation \((x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) = 0\).

C'est le développement du déterminant 2×2 des différences d'abscisses et d'ordonnées.

La forme des deux équations à résoudre pour une intersection est \(y = m_1 x + p_1\) et \(y = m_2 x + p_2\).

On écrit chaque droite sous la forme \(y = mx + p\) pour former le système à résoudre.

En égalant les deux expressions de \(y\), on obtient \((m_1 - m_2)x = p_2 - p_1\).

En mettant tous les termes en \(x\) d'un côté on trouve \((m_1 - m_2)x = p_2 - p_1\).

Si \(m_1 \neq m_2\), l'abscisse de l'intersection est \(x = \frac{p_2 - p_1}{m_1 - m_2}\).

On isole \(x\) dans \((m_1 - m_2)x = p_2 - p_1\) pour obtenir la fraction donnée.

Ensuite on calcule \(y\) en remplaçant \(x\) dans l'équation de la première droite \(y = m_1 x + p_1\).

Après avoir trouvé \(x\) on le remplace dans l'équation de la première droite \(y = m_1 x + p_1\) pour obtenir \(y\).

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente.

Le parallélisme se caractérise par l'égalité des pentes des deux droites.

La condition algébrique du parallélisme s'écrit \(m_1 = m_2\).

Deux droites sont parallèles exactement quand leurs pentes sont égales, donc \(m_1 = m_2\).

Si deux droites ont la même pente mais des ordonnées différentes, elles ne se croisent jamais.

Avec mêmes pentes et ordonnées différentes elles sont parallèles et ne se croisent pas.

Si deux droites ont strictement la même équation, elles sont confondues.

La même équation signifie qu'il s'agit de la même droite, donc elles sont confondues.

La forme générale d'une droite étudiée ici est \(y = mx + p\).

Le cours utilise la forme affine \(y = mx + p\) pour représenter une droite.

Dans \(y = mx + p\), le symbole \(p\) représente l'ordonnée à l'origine.

Par définition \(p\) est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

On vérifie l'alignement de trois points en utilisant le concept de vecteurs.

Le cours explique l'alignement via la colinéarité de vecteurs (par exemple \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\)).