Applications : jeu équitable, estimation : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
1ère › Mathematiques › Variables aléatoires réelles. Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 20 affirmations corrigées
L'espérance d'une variable discrète \(X\) est \(E(X)=\sum_i x_i p_i\).
Vrai — C'est la définition donnée : l'espérance est la moyenne pondérée des valeurs.
La variance se calcule par \(\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2\).
Vrai — C'est la formule alternative équivalente à \(E((X-E(X))^2)\).
Un jeu est équitable si \(E(G)=0\).
Vrai — Par définition dans le cours, l'espérance du gain net doit être nulle.
Pour le jeu binaire décrit, on obtient \(E(G)=pa-c\).
Vrai — Calcul direct : \(E(G)=p(a-c)+(1-p)(-c)=pa-c\).
La condition d'équité du jeu binaire est \(c=pa\).
Vrai — On impose \(E(G)=0\) d'où \(pa-c=0\) donc \(c=pa\).
Si \(a=10\) et \(p=0{,}2\), le prix équitable est \(c=2\).
Vrai — On calcule \(c=pa=0{,}2\times 10=2\).
La moyenne empirique \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) est un estimateur de \(\mu\).
Vrai — C'est l'estimateur usuel présenté pour la moyenne inconnue \(\mu\).
On a \(E(\overline{X})=\mu\), donc \(\overline{X}\) est non biaisé.
Vrai — En linéarité de l'espérance on obtient \(E(\overline{X})=\frac{1}{n}n\mu=\mu\).
La variance de \(\overline{X}\) est \(\sigma^2/n\).
Vrai — Avec indépendance, \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\sigma^2/n\).
Quand \(n\) augmente, \(\operatorname{Var}(\overline{X})\) diminue et tend vers 0.
Vrai — Comme \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^2/n\), elle décroît quand \(n\) croît.
Si \(E(X)=0\) alors \(X=0\) presque sûrement.
Faux — Une espérance nulle n'impose pas que la variable prenne toujours la valeur 0.
Un estimateur non biaisé a forcément une petite variance.
Faux — Non biaisé concerne l'espérance de l'estimateur, pas sa dispersion (variance peut être grande).
L'espérance d'une variable est toujours une valeur effectivement prise par la variable.
Faux — L'espérance est une moyenne pondérée et peut ne pas être atteinte par la variable.
Dans le jeu binaire, l'espérance s'écrit \(E(G)=pc-a\).
Faux — C'est une erreur d'ordre des termes : la formule correcte est \(pa-c\).
La variance de \(\overline{X}\) vaut \(n\sigma^2\).
Faux — Erreur d'échelle : la variance de la moyenne est \(\sigma^2/n\), pas multipliée par \(n\).
Augmenter le nombre d'observations \(n\) fait augmenter \(\operatorname{Var}(\overline{X})\).
Faux — Au contraire, \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^2/n\) décroît quand \(n\) augmente.
Si un jeu a une espérance négative, il est impossible d'être gagnant sur plusieurs parties.
Faux — L'espérance concerne le comportement moyen ; on peut néanmoins gagner temporairement sur plusieurs parties.
Un estimateur est non biaisé si \(E(\hat{\theta})=0\).
Faux — La condition de non-biais est \(E(\hat{\theta})=\theta\), pas forcément zéro.
La variance se calcule par \(\operatorname{Var}(X)=E(X)^2-E(X^2)\).
Faux — L'ordre est inversé : la bonne formule est \(E(X^2)-E(X)^2\).
La linéarité de l'espérance donne \(E(\sum X_i)=\prod E(X_i)\).
Faux — La propriété vraie est l'additivité \(E(\sum X_i)=\sum E(X_i)\), pas un produit.
Les 10 notions à retenir
- Espérance
- Moyenne pondérée des valeurs: \(E(X)=\sum_i x_i p_i\)
- Variance
- Dispersion: \(\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2\)
- Jeu équitable
- Jeu dont l'espérance du gain net vaut zéro
- Gain net
- Montant reçu moins la mise
- Moyenne empirique
- \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\), estimateur de \(\mu\)
- Estimateur non biaisé
- Estimateur vérifiant \(E(\hat{\theta})=\theta\)
- Biais
- Différence entre espérance de l'estimateur et paramètre
- Var de la moyenne
- Pour \(\overline{X}\) on a \(\sigma^2/n\)
- Condition d'équité
- Pour le jeu binaire on a \(c=pa\)
- Rôle de la variance
- Mesurer le risque et la dispersion des gains
Les 14 phrases à connaître
L'espérance d'une variable discrète \(X\) se calcule par \(E(X)=\sum_i x_i p_i\).
L'espérance est la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités, d'où la somme pondérée \(\sum_i x_i p_i\).
La variance se définit par \(\operatorname{Var}(X)=E\big((X-E(X))^2\big)\).
La variance mesure l'écart quadratique à l'espérance, d'où l'espérance de \((X-E(X))^2\).
On peut aussi écrire la variance comme \(\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2\).
En développant \(E((X-E(X))^2)\) on obtient la formule alternative \(E(X^2)-E(X)^2\).
Le jeu est équitable si on a \(E(G)=0\).
Par définition un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle.
Dans le jeu binaire, le gain net quand on gagne est \(a-c\).
Si on reçoit \(a\) et qu'on a misé \(c\), le gain net est la différence \(a-c\).
Dans le jeu binaire, le gain net quand on perd est \(-c\).
Si on ne reçoit rien et que l'on a misé \(c\), le gain net est l'opposé de la mise, soit \(-c\).
Pour le jeu binaire on obtient \(E(G)=\) \(pa-c\).
Calcul en développant les contributions: \(p(a-c)+(1-p)(-c)=pa-c\).
La condition d'équité conduit à \(c=\(pa\)\).
Poser \(E(G)=0\) donne immédiatement \(pa-c=0\) donc \(c=pa\).
Avec \(a=10\) et \(p=0{,}2\), le prix d'équité \(c\) vaut \(2\).
On applique \(c=pa\) : \(0{,}2\times 10=2\).
La moyenne empirique s'écrit \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\).
La moyenne empirique est la somme des observations divisée par \(n\).
Un estimateur \(\hat{\theta}\) est non biaisé si \(E(\hat{\theta})=\theta\).
Non biaisé signifie que l'espérance de l'estimateur coïncide avec le paramètre réel.
La variance de la moyenne empirique vaut \(\frac{\sigma^2}{n}\).
En utilisant l'indépendance on obtient \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\sigma^2/n\).
Quand \(n\) augmente, \(\operatorname{Var}(\overline{X})\) diminue et tend vers 0.
Comme \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^2/n\), elle décroît quand \(n\) croît et tend vers 0.
La propriété vraie citée est la linéarité de l'espérance: \(E(\sum X_i)=\(\sum E(X_i)\)\).
La linéarité donne que l'espérance d'une somme est la somme des espérances.
Les 6 séries dans le bon ordre
Ranger dans l'ordre les étapes pour déterminer le prix \(c\) d'un jeu binaire équitable.
- Écrire les gains nets selon les issues
- Calculer l'espérance \(E(G)\) en utilisant les probabilités
- Simplifier l'expression de \(E(G)\)
- Poser \(E(G)=0\) et résoudre pour \(c\)
On décrit d'abord les gains, on calcule l'espérance, on la simplifie puis on impose l'égalité à zéro pour obtenir \(c\).
Ranger les étapes pour montrer que \(\overline{X}\) est non biaisé.
- Écrire \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)
- Appliquer l'espérance : \(E(\overline{X})=\frac{1}{n}\sum E(X_i)\)
- Utiliser \(E(X_i)=\mu\) pour chaque \(i\)
- Conclure que \(E(\overline{X})=\mu\)
On écrit la moyenne, on prend l'espérance en utilisant la linéarité, on remplace par \(\mu\) et on conclut.
Ranger les étapes pour calculer \(\operatorname{Var}(\overline{X})\).
- Écrire \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\operatorname{Var}(\frac{1}{n}\sum X_i)\)
- Extraire le facteur \(1/n^2\) devant la somme des variances
- Utiliser l'indépendance : somme des \(\operatorname{Var}(X_i)=n\sigma^2\)
- Obtenir \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^2/n\)
On utilise la propriété de variance d’une somme indépendante et on simplifie les facteurs en \(n\).
Ranger ces valeurs de \(\operatorname{Var}(\overline{X})\) du plus grand au plus petit pour \(\sigma^2=4\) et \(n\in\{1,2,4,16\}\).
- \(4\)
- \(2\)
- \(1\)
- \(0{,}25\)
Avec \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^2/n\), les variances pour \(n=1,2,4,16\) sont respectivement 4, 2, 1, 0{,}25.
Ranger l'enchaînement logique du schéma du jeu binaire (mise, issue, gain net).
- Miser la somme \(c\)
- Obtenir l'issue 'gagner' avec probabilité \(p\) ou 'perdre' avec probabilité \(1-p\)
- Recevoir \(a\) si on gagne (sinon rien)
- Calculer les gains nets \(a-c\) et \(-c\)
On commence par la mise, puis l'issue probabiliste, la réception éventuelle, et enfin on en déduit les gains nets.
Ranger les étapes pour évaluer la qualité d'un estimateur.
- Vérifier le biais : calculer \(E(\hat{\theta})-\theta\)
- Calculer la variance \(\operatorname{Var}(\hat{\theta})\)
- Comparer biais et variance pour juger du compromis
Il faut d'abord connaître le biais, puis la variance, et enfin considérer le compromis biais-variance pour l'évaluation.