Applications : optimisation, courbes, inégalités : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 20 affirmations corrigées
Une fonction quadratique a la forme \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\).
Vrai — La définition d'une fonction polynôme du second degré est bien \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\).
Le sommet a pour abscisse \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\).
Vrai — La formule de l'abscisse du sommet est \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) tirée de la forme canonique.
La forme canonique s'écrit \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\beta=f(\alpha)\).
Vrai — La forme canonique exprime la fonction par un carré centré en \(\alpha\) et \(\beta=f(\alpha)\).
Le discriminant est \(\Delta=b^2-4ac\).
Vrai — Le discriminant s'obtient par la formule \(\Delta=b^2-4ac\) et détermine le nombre de racines.
Si \(\Delta>0\) la quadratique a deux racines réelles distinctes.
Vrai — Un discriminant positif signifie deux racines réelles et distinctes.
Si \(a>0\) la parabole est ouverte vers le haut (convexe).
Vrai — Le signe de \(a\) détermine l'ouverture: \(a>0\) donne une parabole ouverte vers le haut.
Si \(a>0\) et il y a deux racines réelles, la fonction est positive en dehors des racines.
Vrai — Pour \(a>0\) la parabole est au-dessus de l'axe en dehors des racines et nulle aux racines.
La forme factorisée est \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) quand les racines \(x_1,x_2\) existent.
Vrai — Si les racines réelles existent, on peut écrire la forme factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
Dans l'exemple du rectangle de périmètre 20 l'aire s'écrit \(A(x)=-x^2+10x\).
Vrai — Avec \(y=10-x\) on trouve \(A(x)=x(10-x)=-x^2+10x\), comme indiqué dans l'exemple.
L'aire maximale du rectangle donné est 25 pour \(x=5\).
Vrai — La forme canonique \(A(x)=-(x-5)^2+25\) montre que le maximum vaut 25 en \(x=5\).
Le sommet d'une parabole est toujours un zéro de la fonction.
Faux — Le sommet est un extremum qui n'est pas forcément une racine, sauf si \(\beta=0\).
Si \(\Delta=0\) alors la fonction a deux racines réelles distinctes.
Faux — Lorsque \(\Delta=0\) on a une racine double (une seule valeur réelle), pas deux distinctes.
La formule de l'abscisse du sommet est \(\alpha=-\dfrac{b}{a}\).
Faux — On oublie le 2 au dénominateur : la bonne formule est \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\).
Quand \(a>0\) la parabole est ouverte vers le bas.
Faux — C'est l'inverse: \(a>0\) ouvre vers le haut, \(a<0\) ouvre vers le bas.
Pour \(a>0\) la fonction est positive entre les racines.
Faux — Pour \(a>0\) la fonction est négative entre les racines et positive à l'extérieur.
Un discriminant négatif implique deux racines réelles.
Faux — Si \(\Delta<0\) il n'y a pas de racines réelles (racines complexes).
Si \(\Delta>0\) la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses.
Faux — Au contraire, \(\Delta>0\) signifie que la parabole coupe l'axe en deux points réels.
La forme canonique s'obtient toujours en factorisant \(ax^2+bx+c\).
Faux — La forme canonique s'obtient par complétion du carré, pas par factorisation qui nécessite des racines réelles.
Dans l'inégalité \(x^2-3x-4\ge0\) l'ensemble solution est \([-1,4]\).
Faux — Pour \(x^2-3x-4\) avec \(a=1>0\) la solution est en dehors des racines: \(( -\infty,-1]\cup[4,+\infty )\).
Si \(a<0\) la parabole est convexe.
Faux — Si \(a<0\) la parabole est concave (ouverte vers le bas), la convexité correspond à \(a>0\).
Les 10 notions à retenir
- Forme générale
- \(ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\)
- Abscisse du sommet
- \(-\dfrac{b}{2a}\)
- Ordonnée du sommet
- \(f\big(-\dfrac{b}{2a}\big)\)
- Discriminant
- \(\Delta=b^2-4ac\)
- Forme canonique
- \(a(x-\alpha)^2+\beta\)
- Forme factorisée
- \(a(x-x_1)(x-x_2)\) si racines réelles
- Sens d'ouverture
- Vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0\)
- Racine double
- \(\Delta=0\) et \(x_1=x_2\)
- Optimisation rectangle
- Périmètre 20 donne maximum aire 25 pour \(5\times5\)
- Signe d'une quadratique
- Dépend de \(a\) et de la position par rapport aux racines
Les 15 phrases à connaître
Une fonction polynôme du second degré est de la forme \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\).
La définition donne la forme générale \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\).
Le paramètre a détermine l'ouverture de la parabole (haut ou bas).
Le signe de \(a\) (positif ou négatif) indique si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.
La forme canonique s'écrit \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\).
La forme canonique s'écrit \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) pour lire facilement le sommet.
On calcule le sommet en \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\) pour l'ordonnée.
L'abscisse du sommet est \(\alpha\) et l'ordonnée vaut \(\beta=f(\alpha)\).
Le discriminant se note \(\Delta\) et vaut \(b^2-4ac\).
On note le discriminant \(\Delta\) et on le calcule par \(b^2-4ac\).
Si \(\Delta>0\) la quadratique a deux racines réelles.
Un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes.
Si \(\Delta=0\) on a une racine double racine.
Lorsque \(\Delta=0\) les deux racines coïncident en une racine double.
La forme factorisée s'écrit \(a(x-x_1)(x-x_2)\) si les racines sont \(x_1,x_2\).
Avec les racines \(x_1,x_2\) on factorise en \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
Pour \(a>0\) la parabole est ouverte vers le haut.
Si \(a>0\) la parabole est convexe et ouvre vers le haut.
Dans l'exemple du rectangle de périmètre 20 l'aire s'écrit \(A(x)=-x^2+10x\).
Avec \(y=10-x\) on obtient \(A(x)=x(10-x)=-x^2+10x\).
La forme canonique de \(A(x)=-x^2+10x\) est \(-\left(x-5\right)^2+25\).
On complète le carré pour obtenir \(- (x-5)^2+25\), mettant en évidence le maximum.
Le maximum de l'aire dans cet exemple vaut 25.
La forme canonique montre que l'aire maximale est \(25\).
La valeur de \(x\) qui maximise \(A\) est 5.
Le sommet est en \(x=5\) car \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}=5\).
Les racines de \(x^2-3x-4\) sont \(-1\) et \(4\).
Le calcul donne \(x_{1,2}=\dfrac{3\pm5}{2}\), soit \(-1\) et \(4\).
L'ensemble solution de \(x^2-3x-4\ge0\) est \(( -\infty,-1 ]\cup[4,+\infty )\).
Avec \(a=1>0\) la fonction est positive en dehors des racines: \(( -\infty,-1 ]\cup[4,+\infty )\).
Les 6 séries dans le bon ordre
Ordonnez les étapes pour calculer le sommet d'une quadratique (de la première à la dernière).
- Calculer \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\)
- Calculer \(\beta=f(\alpha)\)
- Écrire le sommet \((\alpha,\beta)\)
On calcule d'abord l'abscisse du sommet, puis l'ordonnée en évaluant la fonction, enfin on donne le point.
Ordonnez les étapes pour résoudre une équation quadratique (de la première à la dernière).
- Calculer \(\Delta=b^2-4ac\)
- Comparer \(\Delta\) à 0
- Si \(\Delta\ge0\) calculer \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Si \(\Delta<0\) conclure qu'il n'y a pas de racines réelles
On calcule d'abord le discriminant, on en déduit le nombre de racines puis on applique la formule si possible.
Ordonnez les étapes pour résoudre une inégalité quadratique \(f(x)\ge0\).
- Calculer les racines de \(f\)
- Écrire la forme factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\)
- Faire le tableau de signes selon le signe de \(a\)
- Lire l'ensemble solution en combinant intervalles et zéros
On trouve d'abord les zéros, on factorise, on étudie le signe puis on lit les intervalles qui conviennent.
Ordonnez les étapes pour mettre \(f(x)=ax^2+bx+c\) sous forme canonique (compléter le carré).
- Factoriser \(a\) sur les termes en \(x\): \(a(x^2+\tfrac{b}{a}x)+c\)
- Compléter le carré à l'intérieur du parenthèse
- Réécrire comme \(a(x-\alpha)^2+\beta\)
On factorise, on complète le carré pour obtenir la forme \(a(x-\alpha)^2+\beta\) lisible.
Ordonnez les étapes pour esquisser la parabole donnée (par exemple \(f(x)=2x^2-4x+1\)).
- Identifier le signe de \(a\) pour le sens d'ouverture
- Calculer le sommet \((\alpha,\beta)\)
- Calculer \(\Delta\) puis les racines si \(\Delta>0\)
- Tracer l'axe de symétrie, placer le sommet et les racines, puis esquisser
On commence par le sens d'ouverture, on place le sommet et les racines, puis on trace la courbe.
Ordonnez les étapes pour optimiser l'aire du rectangle de périmètre 20.
- Exprimer \(y\) par \(y=10-x\)
- Écrire \(A(x)=x(10-x)=-x^2+10x\)
- Mettre en forme canonique \(- (x-5)^2+25\)
- Déduire \(x=5\) et \(A_{\max}=25\)
On exprime d'abord une variable, on obtient la quadratique d'aire, on la met en canonique puis on lit le maximum.