Applications : vitesse instantanée, coût marginal, optimisation : texte à trous et remets dans l'ordre
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La dérivation permet de connaître la variation ? d'une grandeur.
Les 15 phrases à connaître
La dérivation permet de connaître la variation instantanée d'une grandeur.
La dérivée donne la variation instantanée d'une grandeur en un point précis.
La vitesse instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps.
La vitesse est définie comme la dérivée de la position par rapport au temps.
La formule générale de la vitesse est \(v(t)=\frac{d}{dt} \(s(t)\)\).
On note la vitesse par \(v(t)=\dfrac{d}{dt}s(t)\), la dérivée de la position \(s(t)\).
Le coût marginal est la dérivée du coût total .
Par définition le coût marginal est la dérivée du coût total par rapport à la quantité.
On note la dérivée de \(f\) en \(x\) par \(f'(x)\) .
La notation usuelle pour la dérivée de \(f\) en \(x\) est \(f'(x)\).
Pour trouver un extremum, on résout \(f'(x)=0\) .
Les points critiques sont obtenus en résolvant \(f'(x)=0\), puis on teste la nature.
Dans l'exemple, la position est \(s(t)=5t^2+2t\) et la dérivée vaut \(10t+2\) .
La dérivée de \(5t^2+2t\) est \(10t+2\) en appliquant la règle puissance.
La vitesse à \(t=3\) dans l'exemple est 32 \(\text{m/s}\).
En évaluant \(v(t)=10t+2\) en \(t=3\) on obtient \(10\times3+2=32\,\text{m/s}\).
Pour le coût total \(C(q)=3q^2+50\), la dérivée \(C'(q)\) est \(6q\) .
La dérivée de \(3q^2\) est \(6q\) et la constante 50 disparaît.
Le coût marginal en \(q=10\) vaut 60 \(\text{euros}\).
On calcule \(C'(q)=6q\) puis \(C'(10)=6\times10=60\) euros.
Une erreur fréquente est de confondre la dérivée avec une simple différence.
La dérivée utilise la limite du taux de variation quand \(h\to0\), ce n'est pas une simple différence finie.
La dérivée se calcule par la limite du taux de variation quand \(h\to 0\).
Par définition la dérivée est la limite du taux de variation quand \(h\to0\).
L'optimisation cherche les extrema d'une fonction.
L'optimisation vise à trouver les maxima ou minima, appelés extrema.
La dérivée est aussi appelée taux de variation instantané.
La dérivée représente le taux de variation instantané en un point.
Une notation alternative de la dérivée est \(\frac{df}{dx}\) .
On peut noter la dérivée de \(f\) par \(f'(x)\) ou \(\dfrac{df}{dx}\).
Les 6 séries dans le bon ordre
Ordonne les étapes pour calculer la vitesse instantanée donnée \(s(t)\) en un temps \(t_0\).
- Écrire \(s(t)\)
- Calculer \(v(t)=\frac{d}{dt}s(t)\)
- Évaluer \(v(t)\) en \(t=t_0\)
On différencie d'abord la position pour obtenir \(v(t)\) puis on évalue cette dérivée en \(t_0\).
Ordonne les étapes pour obtenir le coût marginal en une quantité \(q_0\).
- Donner \(C(q)\)
- Calculer \(C'(q)=\frac{dC}{dq}\)
- Évaluer \(C'(q)\) en \(q=q_0\)
Le coût marginal est obtenu en dérivant le coût total puis en l'évaluant en \(q_0\).
Ordonne la méthode pour trouver un extremum en utilisant le signe de la dérivée.
- Calculer \(f'(x)\)
- Résoudre \(f'(x)=0\)
- Étudier le signe de \(f'\) avant et après chaque point critique
- Conclure maximum ou minimum
On obtient d'abord les points critiques puis on étudie le signe de \(f'\) pour déterminer la nature.
Ordonne les opérations pour calculer la dérivée par la définition limite.
- Former le taux \(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
- Prendre la limite quand \(h\to0\)
- Simplifier pour obtenir \(f'(x)\)
La définition de la dérivée est la limite du taux de variation quand \(h\to0\), puis on simplifie.
Ordonne les étapes de l'exemple de la voiture pour obtenir la vitesse numérique à \(t=3\).
- Écrire \(s(t)=5t^2+2t\)
- Calculer \(v(t)=10t+2\)
- Évaluer \(v(3)=32\ \text{m/s}\)
On part de \(s(t)\), on dérive pour avoir \(v(t)\) puis on évalue en \(t=3\).
Ordonne les étapes de l'exemple du coût marginal pour obtenir la valeur numérique en \(q=10\).
- Écrire \(C(q)=3q^2+50\)
- Calculer \(C'(q)=6q\)
- Évaluer \(C'(10)=60\ \text{euros}\)
On dérive \(C(q)\) pour obtenir \(C'(q)\) puis on l'évalue en \(q=10\).