Arbres, tableaux croisés, algorithmes (Monte Carlo) : vrai ou faux, Memory et remets dans l'ordre
1ère › Mathematiques › Probabilités conditionnelles et indépendance. Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 15 affirmations corrigées
La probabilité conditionnelle de A sachant B se calcule par \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\), avec \(P(B) \neq 0\).
Vrai — C'est la définition de la probabilité conditionnelle (notée aussi \(P(A|B)\)).
Deux événements A et B sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) + P(B)\).
Faux — Ils sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
Un arbre de probabilités représente une expérience composée de plusieurs étapes successives.
Vrai — Chaque niveau de branches correspond à une étape, avec les probabilités sur les branches.
Un tableau croisé ne peut contenir que des effectifs, jamais des probabilités.
Faux — On peut y écrire des effectifs ou des probabilités (fréquences) ; il facilite les calculs de probabilités conditionnelles.
La méthode de Monte-Carlo utilise un grand nombre de tirages aléatoires simulés pour estimer une probabilité.
Vrai — On simule l'expérience de nombreuses fois et la fréquence observée approche la probabilité.
Si A et B sont indépendants (avec \(P(B) \neq 0\)), alors \(P_B(A) = P(A)\).
Vrai — \(P_B(A) = \dfrac{P(A)\times P(B)}{P(B)} = P(A)\).
La formule de la probabilité conditionnelle sachant B exige que \(P(B)\) soit égale à zéro.
Faux — Elle exige au contraire \(P(B) \neq 0\), c'est-à-dire \(P(B) > 0\), car on divise par \(P(B)\).
Deux événements indépendants sont des événements qui ne peuvent pas se produire en même temps.
Faux — Ne pas pouvoir se produire en même temps, c'est être incompatibles. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Avec la méthode de Monte-Carlo, le résultat devient exactement égal à la probabilité dès qu'on fait assez de simulations.
Faux — La fréquence se rapproche de la probabilité quand le nombre de simulations augmente, mais elle reste une estimation.
Dans un arbre de probabilités, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
Vrai — Les branches issues d'un même nœud représentent toutes les issues possibles de cette étape.
Un événement A et son contraire \(\overline{A}\) sont toujours indépendants.
Faux — \(P(A \cap \overline{A}) = 0\) alors que \(P(A)\times P(\overline{A})\) est non nul dès que \(0 < P(A) < 1\) : ils sont alors dépendants.
La probabilité de l'événement contraire \(\overline{A}\) est \(1 - P(A)\).
Vrai — \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\).
Un tableau croisé d'effectifs permet de calculer une probabilité conditionnelle \(P_B(A)\).
Vrai — On divise l'effectif de la case « A et B » par l'effectif total de B.
Deux événements sont dépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
Faux — C'est la condition d'indépendance, pas de dépendance.
Sur un chemin d'un arbre, la probabilité de l'issue s'obtient en multipliant les probabilités des branches de ce chemin.
Vrai — Par exemple \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\).
Les 10 notions à retenir
- Probabilité conditionnelle
- Probabilité de A sachant que B est réalisé, notée \(P_B(A)\).
- Indépendance
- Deux événements dont la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.
- Arbre de probabilités
- Schéma à branches qui représente une expérience à plusieurs étapes.
- Tableau croisé
- Tableau à double entrée qui répartit des effectifs selon deux critères.
- Méthode de Monte-Carlo
- Estimation d'une probabilité par un grand nombre de simulations aléatoires.
- Expérience aléatoire
- Expérience dont on connaît les issues possibles sans pouvoir prévoir le résultat.
- Fréquence
- Nombre de fois où un événement se réalise divisé par le nombre total d'essais.
- Événement contraire
- Événement \(\overline{A}\), de probabilité \(1 - P(A)\).
- Événements incompatibles
- Événements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps : \(A \cap B = \varnothing\).
- Formule des probabilités totales
- \(P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\).
Les 3 séries dans le bon ordre
Ordonne les étapes pour calculer une probabilité conditionnelle \(P_B(A)\).
- Identifier les événements A et B dans l'énoncé
- Calculer \(P(B)\) et vérifier que \(P(B) \neq 0\)
- Calculer \(P(A \cap B)\)
- Diviser : \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
On nomme les événements, on s'assure que la division par \(P(B)\) est possible, puis on applique la définition.
Ordonne les étapes de construction et d'utilisation d'un arbre de probabilités.
- Tracer, depuis la racine, les branches de la première étape
- Ajouter au bout de chaque branche celles de l'étape suivante
- Écrire sur chaque branche sa probabilité
- Multiplier les probabilités le long d'un chemin pour obtenir celle d'une issue
On construit l'arbre étape par étape, on le pondère, puis on l'exploite avec la règle du produit sur un chemin.
Ordonne les étapes d'une estimation par la méthode de Monte-Carlo.
- Écrire un programme qui simule une fois l'expérience aléatoire
- Répéter la simulation un grand nombre de fois
- Compter le nombre de fois où l'événement est réalisé
- Diviser ce nombre par le nombre de simulations pour obtenir la fréquence
La fréquence obtenue sur un grand nombre de simulations est une estimation de la probabilité cherchée.