Connecteurs logiques : et, ou, implication, contraposée : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
1ère › Mathematiques › Logique et raisonnement. Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 19 affirmations corrigées
La conjonction de \(A\) et \(B\) s'écrit \(A \wedge B\).
Vrai — Par définition dans le cours, la conjonction s'écrit \(A \wedge B\).
La conjonction \(A \wedge B\) est vraie si et seulement si \(A\) et \(B\) sont vrais.
Vrai — Le cours précise que \(A \wedge B\) est vraie exactement quand les deux propositions sont vraies.
La disjonction s'écrit dans le cours \(A ee B\).
Vrai — Le cours utilise la notation écrite \(A ee B\) pour la disjonction.
La disjonction \(A ee B\) est fausse si et seulement si \(A\) et \(B\) sont faux.
Vrai — Le cours dit que la disjonction n'est fausse que si les deux propositions sont fausses.
L'implication s'écrit \(A \Rightarrow B\) et signifie « si \(A\) alors \(B\) ».
Vrai — C'est la définition donnée : \(A \Rightarrow B\) se lit « si \(A\) alors \(B\) ».
L'implication \(A \Rightarrow B\) est fausse seulement si \(A\) est vraie et \(B\) est fausse.
Vrai — Le cours indique explicitement que c'est le seul cas où l'implication est fausse.
Si \(A\) est fausse, alors l'implication \(A \Rightarrow B\) est toujours vraie.
Vrai — D'après le tableau de vérité indiqué, quand \(A\) est faux l'implication est vraie quel que soit \(B\).
Si \(B\) est vraie, alors \(A \Rightarrow B\) est vraie même si \(A\) est faux.
Vrai — Le cours rappelle que l'implication est vraie quand \(B\) est vraie, indépendamment de \(A\).
La contraposée de \(A \Rightarrow B\) s'écrit \( eg B \Rightarrow eg A\).
Vrai — Le cours donne explicitement la contraposée sous la forme \( eg B \Rightarrow eg A\).
La contraposée est logiquement équivalente à l'implication initiale.
Vrai — Le cours indique que si \(A\) implique \(B\) alors la contraposée implique aussi \( eg B \Rightarrow eg A\).
La contraposée est rarement utilisée pour démontrer une implication.
Faux — Le cours précise au contraire que la contraposée est souvent utilisée pour démontrer une implication.
La disjonction \(A ee B\) est vraie uniquement si exactement une des propositions est vraie.
Faux — Ceci confond disjonction et ou exclusif ; le cours dit que \(A ee B\) est vraie si au moins une est vraie.
L'implication \(A \Rightarrow B\) est vraie seulement si \(A\) est vraie.
Faux — C'est faux : l'implication peut être vraie même si \(A\) est faux, selon le tableau de vérité.
La conjonction est fausse seulement si \(A\) et \(B\) sont faux.
Faux — En réalité la conjonction est fausse dès qu'une des deux propositions est fausse, pas seulement quand les deux le sont.
L'implication est fausse si \(A\) est faux et \(B\) est vrai.
Faux — Le cours indique l'inverse : ce cas rend l'implication vraie.
Le tableau de vérité aide à comprendre les valeurs vrai/faux des connecteurs.
Vrai — Le cours recommande d'utiliser les tableaux de vérité pour comprendre ces connecteurs.
La disjonction est fausse si au moins une des propositions est fausse.
Faux — C'est faux : la disjonction n'est fausse que si les deux propositions sont fausses.
Dire « si A alors B » équivaut toujours à dire « si B alors A ».
Faux — Confusion avec l'équivalence : le cours ne dit pas que \(A \Rightarrow B\) implique \(B \Rightarrow A\).
Le cours affirme que la maîtrise des connecteurs est essentielle pour rédiger des démonstrations rigoureuses.
Vrai — La conclusion du cours insiste sur l'importance de ces connecteurs pour le raisonnement mathématique.
Les 10 notions à retenir
- Conjonction
- Connecteur \(A \wedge B\): vrai si \(A\) et \(B\) sont vrais
- Disjonction
- Connecteur \(A ee B\): vrai si au moins une proposition vraie
- Implication
- Forme \(A \Rightarrow B\): fausse seulement si \(A\) vrai, \(B\) faux
- Contraposée
- Forme \( eg B \Rightarrow eg A\), équivalente à l'implication
- Tableau de vérité
- Outil montrant valeurs vrai/faux des connecteurs
- Si... alors...
- Façon d'exprimer une implication entre propositions
- Vrai si et seulement si
- Formulation utilisée pour la conjonction dans le cours
- Fausse seulement si
- Formulation utilisée pour la disjonction dans le cours
- Utilité de la contraposée
- Souvent utilisée pour démontrer une implication
- Cas d'implication vraie
- L'implication est vraie si \(A\) faux ou \(B\) vrai
Les 15 phrases à connaître
La conjonction de deux propositions \(A\) et \(B\) s'écrit \(A \wedge B\).
La conjonction s'écrit \(A \wedge B\) et correspond au connecteur « et ».
La conjonction est vraie si et seulement si les deux propositions sont vraies.
« Et » exige que les deux propositions soient vraies pour que la conjonction soit vraie.
La disjonction de \(A\) et \(B\) s'écrit \(A \vee B\).
La disjonction s'écrit \(A \vee B\) et correspond au connecteur « ou ».
La disjonction est fausse seulement si les deux propositions sont fausses.
« Ou » est fausse uniquement quand ni \(A\) ni \(B\) ne sont vraies.
L'implication se note \(A \Rightarrow B\).
On note l'implication par \(A \Rightarrow B\) signifiant « si \(A\) alors \(B\) ».
L'implication est fausse seulement si \(A\) est vraie et \(B\) est fausse.
La seule situation où \(A \Rightarrow B\) est fausse est lorsque \(A\) est vraie et \(B\) est fausse.
Dans tous les autres cas, l'implication est vraie.
Sauf le cas \(A\) vrai et \(B\) faux, l'implication est considérée vraie.
La contraposée de \(A \Rightarrow B\) s'écrit \(\neg B \Rightarrow \neg A\).
La contraposée échange et nie les deux propositions : \(\neg B \Rightarrow \neg A\).
La contraposée est logiquement équivalente à l'implication initiale.
Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur logique, elles sont équivalentes.
On utilise souvent la contraposée pour démontrer une implication.
Prouver la contraposée est une méthode fréquente pour démontrer une implication.
Le connecteur « et » se nomme aussi conjonction.
Le terme technique pour « et » est conjonction.
Le connecteur « ou » se nomme aussi disjonction.
Le terme technique pour « ou » est disjonction.
Le tableau de vérité d'une conjonction montre 'vrai' seulement quand \(A\) et \(B\) sont vrais.
La conjonction est vraie uniquement dans la ligne où \(A\) et \(B\) sont vrais.
Le tableau de vérité d'une disjonction montre 'faux' seulement quand \(A\) et \(B\) sont faux.
La disjonction n'est fausse que si aucune des deux propositions n'est vraie.
Maîtriser les connecteurs permet d'analyser et de rédiger des démonstrations mathématiques.
Les connecteurs servent à construire et analyser des démonstrations rigoureuses.
Les 6 séries dans le bon ordre
Remets dans l'ordre les étapes pour démontrer \(A \Rightarrow B\) en utilisant la contraposée (ordre d'application).
- Énoncer \(A \Rightarrow B\)
- Écrire la contraposée \(\neg B \Rightarrow \neg A\)
- Prouver la contraposée
- Conclure que \(A \Rightarrow B\) est vraie
On passe de l'implication à sa contraposée, on démontre cette dernière, puis on en déduit l'implication initiale.
Remets dans l'ordre les lignes du tableau de vérité de \(A \Rightarrow B\) du haut vers le bas (commencer par \(A=V,B=V\)).
- \(A=V, B=V\) : Vrai
- \(A=V, B=F\) : Faux
- \(A=F, B=V\) : Vrai
- \(A=F, B=F\) : Vrai
Le tableau de l'implication a une seule ligne fausse (\(A=V,B=F\)); les autres sont vraies.
Remets dans l'ordre les lignes du tableau de vérité de \(A \wedge B\) du haut vers le bas (commencer par \(A=V,B=V\)).
- \(A=V, B=V\) : Vrai
- \(A=V, B=F\) : Faux
- \(A=F, B=V\) : Faux
- \(A=F, B=F\) : Faux
La conjonction n'est vraie que lorsque les deux propositions sont vraies.
Remets dans l'ordre les lignes du tableau de vérité de \(A \vee B\) du haut vers le bas (commencer par \(A=V,B=V\)).
- \(A=V, B=V\) : Vrai
- \(A=V, B=F\) : Vrai
- \(A=F, B=V\) : Vrai
- \(A=F, B=F\) : Faux
La disjonction est fausse uniquement quand ni \(A\) ni \(B\) ne sont vrais.
Remets dans l'ordre les étapes pour démontrer directement \(A \Rightarrow B\) (preuve directe).
- Supposer \(A\) vraie
- Démontrer que \(B\) est vraie
- Conclure \(A \Rightarrow B\)
La preuve directe part de l'hypothèse \(A\) pour obtenir \(B\) puis conclut l'implication.
Remets dans l'ordre les étapes pour construire un tableau de vérité d'un connecteur binaire.
- Lister toutes les combinaisons de \(A\) et \(B\)
- Calculer la valeur du connecteur pour chaque ligne
- Noter les résultats dans le tableau
Construire un tableau exige d'abord les combinaisons possibles puis d'évaluer le connecteur pour chacune.