Continuité, théorème des valeurs intermédiaires : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 15 affirmations corrigées
Si une fonction est continue en un point, elle est aussi dérivable en ce point.
Faux — La continuité n'implique pas la dérivabilité d'une fonction.
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'une fonction continue sur [a, b] atteint toutes les valeurs entre f(a) et f(b).
Vrai — C'est précisément ce que stipule le théorème des valeurs intermédiaires.
Une fonction continue sur un intervalle \([a, b]\) est bornée sur cet intervalle.
Vrai — L'image de \([a, b]\) par une fonction continue est un intervalle \([m, M]\) : la fonction est bornée et atteint ses bornes.
Une discontinuité de type saut empêche une fonction d'être continue en ce point.
Vrai — Une discontinuité de saut correspond à une interruption de la continuité en ce point.
Une fonction continue sur un intervalle ouvert n'atteint pas nécessairement ses bornes.
Vrai — Exemple : \(f(x) = x\) sur \(]0 ; 1[\) prend des valeurs entre 0 et 1 sans jamais atteindre 0 ni 1.
Le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique pas si la fonction n'est pas continue sur l'intervalle.
Vrai — La continuité sur l'intervalle est une hypothèse du théorème : sans elle, la conclusion peut être fausse.
Une fonction peut être continue en un point mais non dérivable en ce point.
Vrai — La continuité n'implique pas la dérivabilité; exemple : la valeur absolue en 0.
Une fonction bornée peut ne pas être continue.
Vrai — Exemple : la fonction qui vaut 0 si \(x < 0\) et 1 si \(x \geq 0\) est bornée mais n'est pas continue en 0.
Une fonction affine est toujours continue sur \(\mathbb{R}\).
Vrai — Les fonctions affines \(f(x) = ax + b\) sont continues partout.
Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique uniquement aux fonctions dérivables.
Faux — Il s'applique à toute fonction continue sur l'intervalle.
Pour qu'une fonction soit continue, il suffit qu'elle ait une limite en chaque point.
Faux — Il faut aussi que la limite corresponde à la valeur de la fonction en ce point.
Une différence entre deux fonctions continues peut produire une fonction discontinue.
Faux — La somme ou la différence de deux fonctions continues est continue.
Le théorème des valeurs intermédiaires permet aussi de prouver la continuité d'une fonction.
Faux — Il sert à montrer que certaines valeurs intermédiaires sont atteintes ; la continuité est une hypothèse, pas une conclusion.
Une fonction f est continue en a si sa limite en a existe et est égale à \(f(a)\).
Vrai — C'est la définition de la continuité en un point.
Une fonction constante est toujours continue.
Vrai — Les fonctions constantes sont continues partout.
Les 10 notions à retenir
- Continuité en a
- La limite de f en a existe et est égale à \(f(a)\).
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Si f est continue sur \([a, b]\), tout réel k compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) a au moins un antécédent dans \([a, b]\).
- Fonction bornée
- Fonction dont toutes les valeurs restent comprises entre deux réels m et M.
- Discontinuité de saut
- Les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes : la courbe « saute ».
- Fonction dérivable en a
- Le taux d'accroissement \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) a une limite finie quand h tend vers 0.
- Limite en un point
- Valeur vers laquelle tend \(f(x)\) quand x se rapproche de ce point.
- Intervalle fermé
- Intervalle qui contient ses bornes, noté \([a, b]\).
- Intervalle ouvert
- Intervalle qui ne contient pas ses bornes, noté \(]a, b[\).
- Image d'un segment
- Par une fonction continue, l'image de \([a, b]\) est un intervalle \([m, M]\) : f est bornée et atteint ses bornes.
- Théorème de la bijection
- Si f est continue et strictement monotone sur \([a, b]\), l'équation \(f(x) = k\), avec k entre \(f(a)\) et \(f(b)\), a une unique solution dans \([a, b]\).
Les 8 phrases à connaître
Si une fonction est continue en un point, la limite en ce point coïncide la valeur de la fonction.
La continuité en un point implique que la limite de la fonction en ce point est égale à la valeur de la fonction en ce point.
Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que si f est continue sur \([a, b]\), alors tout réel k compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) admet au moins un antécédent dans \([a, b]\).
Toute valeur intermédiaire entre \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte au moins une fois.
La limite \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe si la limite à gauche et la limite à droite en a existent et sont égales.
La limite en a existe seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont identiques.
Le théorème des valeurs intermédiaires s’appuie sur le fait que la fonction est continue sur l’intervalle considéré.
Ce théorème ne s'applique que lorsque la fonction est continue sur l'intervalle.
Pour montrer que f est continue en a, on vérifie que la limite de \(f(x)\) quand x tend vers a est égale à \(f(a)\).
La continuité en a, c'est l'égalité entre la limite en a et la valeur \(f(a)\).
Une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point, comme la valeur absolue en 0.
La continuité n'entraîne pas la dérivabilité : \(|x|\) est continue en 0 mais pas dérivable en 0.
Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point.
La dérivabilité implique la continuité, mais l'inverse n'est pas toujours vrai.
Si f n'est pas définie en a mais a une limite finie \(\ell\) en a, on la prolonge par continuité en lui donnant la valeur \(\ell\) en a.
Le prolongement par continuité consiste à poser \(f(a) = \ell\).
Les 3 séries dans le bon ordre
Ordonner les étapes pour vérifier la continuité en un point
- Calculer la limite à gauche
- Calculer la limite à droite
- Comparer les deux limites
- Vérifier la valeur de la fonction
- Conclure si tout est égal
Pour vérifier la continuité en un point, il faut comparer la limite gauche, la limite droite, et la valeur de la fonction.
Ordonner les étapes pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à l'équation \(f(x) = k\)
- Vérifier que f est continue sur \([a, b]\)
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\)
- Vérifier que k est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\)
- Conclure que l'équation \(f(x) = k\) a au moins une solution dans \([a, b]\)
On vérifie l'hypothèse de continuité, on encadre k par les images des bornes, puis on conclut.
Ordonner les étapes pour analyser une discontinuité
- Identifier le point de discontinuité
- Vérifier la limite à gauche
- Vérifier la limite à droite
- Comparer avec la valeur en ce point
- Classer le type de discontinuité
L’analyse consiste à comparer limites et valeur pour classer la discontinuité.