Définition d’un polynôme : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
2nde › Mathematiques › Polynômes et fractions rationnelles. Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 19 affirmations corrigées
Un polynôme peut avoir un exposant négatif.
Faux — Un polynôme n'a que des exposants entiers positifs ou nuls.
La somme de deux polynômes est toujours un polynôme.
Vrai — La somme de deux polynômes est toujours un polynôme.
Un monôme est un polynôme à un seul terme.
Vrai — Un monôme est un polynôme composé d’un seul terme.
Un polynôme peut contenir des dénominateurs en facteurs.
Faux — Un polynôme ne comporte pas de dénominateurs, c’est un sum de termes entiers.
La multiplication de deux polynômes donne toujours un polynôme.
Vrai — Le produit de deux polynômes est un polynôme.
Un polynôme en une variable est de degré 0 s'il est constant.
Vrai — Un polynôme constant a un degré égal à 0.
Le degré d’un polynôme est le plus grand exponent d'une variable.
Vrai — Le degré d’un polynôme correspond au plus grand exposant de la variable.
Les fractions rationnelles sont des ratios de deux polynômes.
Vrai — Les fractions rationnelles sont des ratios de deux polynômes où le dénominateur n’est pas nul.
Un polynôme peut contenir des racines carrées comme termes.
Faux — Les termes d’un polynôme doivent avoir des exposants entiers, pas de racines.
L’ensemble des polynômes est fermé à la division.
Faux — La division de deux polynômes ne donne pas toujours un polynôme, sauf si divisible.
Le coefficient d’un terme est le nombre devant la variable.
Vrai — Le coefficient est le nombre multiplicateur du terme variable.
Une expression la plus simple d’un polynôme est son développement complet.
Faux — L’expression simplifiée d’un polynôme est souvent sous forme factorisée ou développée.
La forme factorisée d’un polynôme révèle ses racines.
Vrai — La forme factorisée permet d’identifier explicitement les racines du polynôme.
Les expressions en \(x^2 + 3x + 2\) sont des polynômes de degré 2.
Vrai — Le degré d’un polynôme est l’exposant maximal, ici 2.
Une fraction rationnelle peut être simplifiée en cancelant d’éventuels facteurs communs.
Vrai — On simplifie les fractions rationnelles en annulant les facteurs communs.
Un polynôme peut avoir plusieurs variables.
Vrai — Un polynôme peut contenir plusieurs variables, comme \(x\) et \(y\).
Tous les polynômes ont un terme constant.
Faux — Certains polynômes n’ont pas de terme constant, comme \(x^2\).
Si un polynôme est divisé par une variable, ce n’est plus un polynôme.
Vrai — Diviser un polynôme par une variable peut produire une expression non polynomiale.
Le terme dominant d’un polynôme est celui avec le plus faible degré.
Faux — Le terme dominant est celui avec le plus grand degré.
Les 10 notions à retenir
- Polynôme
- Expression algébrique composée de termes avec des coefficients et des puissances entières de \(x\).
- Degré d’un polynôme
- Plus grand exponent de la variable dans un polynôme.
- Coefficient
- Nombre qui multiplie la variable dans un terme d’un polynôme.
- Term
- Un seul terme d’un polynôme, comme \(3x^2\).
- Forme factorisée
- Expression écrite sous forme de produits de facteurs.
- Racines d’un polynôme
- Valeurs de \(x\) qui rendent le polynôme égal à zéro.
- Polynôme en une variable
- Polynôme qui dépend d’une seule variable, généralement \(x\).
- Fraction rationnelle
- Ratio de deux polynômes où le dénominateur n’est pas nul.
- Simplification d’une fraction
- Réduction d’une fraction en annulant des facteurs communs.
- Polynôme constant
- Polynôme dont tous les termes ont degré 0, donc une constante.
Les 14 phrases à connaître
Un polynôme est une expression composée de termes.
Un polynôme est formé de termes, chacun étant un produit d'un coefficient et d'une puissance de la variable.
Les puissances dans un polynôme doivent être des entiers non négatifs.
Par définition les exposants des termes d'un polynôme sont des entiers supérieurs ou égaux à zéro.
Les nombres multipliant les puissances sont appelés coefficients.
Chaque terme s'écrit \(a_k x^k\) où \(a_k\) est le coefficient du terme.
Le degré d'un polynôme est le plus grand exposant pour lequel le coefficient est non nul.
Le degré correspond à l'exposant le plus élevé dont le coefficient associé n'est pas zéro.
Dans \(P(x)=a_n x^n + \dots + a_0\), le coefficient dominant est \(a_n\).
Le coefficient dominant est le coefficient associé au plus grand exposant, noté \(a_n\).
Pour être un polynôme en \(x\), la variable doit apparaître avec des puissances entières.
Les puissances dans un polynôme sont des entiers (et, de plus, non négatifs).
L'expression \(\frac{1}{x}\) est n'est pas un polynôme.
La présence d'une division par la variable donne une puissance négative, donc ce n'est pas un polynôme.
Les coefficients du polynôme \(4x^3-2x+7\) incluent 0.
On complète les puissances manquantes : il y a un terme en \(x^2\) de coefficient \(0\).
Un coefficient peut être un nombre réel.
Dans le cours, les coefficients des polynômes sont des nombres réels.
On écrit chaque terme en faisant apparaître la puissance dans x.
La variable est notée \(x\) dans la forme générale donnée du polynôme.
Si \(a_n \neq 0\) alors \(n\) est le degré du polynôme.
Lorsque le coefficient du plus grand exposant est non nul, cet exposant \(n\) est le degré du polynôme.
Pour reconnaître un polynôme, il faut vérifier que tous les exposants sont entiers non négatifs.
La condition essentielle est que les exposants soient des entiers supérieurs ou égaux à zéro.
La forme générale d'un polynôme en \(x\) est \(P(x)=\) \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\).
La forme standard s'écrit comme une somme des termes \(a_k x^k\) pour \(k\) de \(n\) à \(0\).
Les puissances négatives ou une division par \(x\) font que l'expression n'est pas un polynôme.
Les puissances négatives ou les divisions par la variable excluent la nature polynomiale de l'expression.
Les 6 séries dans le bon ordre
Rangez ces étapes pour vérifier qu'une expression est un polynôme, du début à la fin.
- Vérifier que tous les exposants sont des entiers non négatifs
- Vérifier que tous les coefficients sont des nombres réels
- S'assurer qu'il n'y a pas de divisions par la variable ni de racines non entières
On commence par contrôler les exposants, puis les coefficients, et enfin l'absence de divisions ou de racines interdite.
Classez ces étapes pour déterminer le degré d'un polynôme.
- Lister les termes avec leurs exposants
- Éliminer les termes dont le coefficient est zéro
- Identifier le plus grand exposant restant
Après avoir listé et retiré les termes nuls, le plus grand exposant des termes restants donne le degré.
Ordonnez ces termes de \(P(x)=4x^3-2x+7\) du plus grand au plus petit exposant.
- \(4x^3\)
- \(-2x\)
- \(7\)
On classe les termes par décroissance des exposants: \(3\), puis \(1\), puis \(0\).
Mettez ces étapes pour écrire un polynôme à partir de ses coefficients dans l'ordre.
- Associer chaque coefficient à la puissance correspondante
- Écrire chaque terme sous la forme \(a_k x^k\)
- Additionner tous les termes pour obtenir le polynôme
On associe coefficients et puissances, forme les termes \(a_k x^k\), puis on les somme.
Classez ces étapes pour extraire les coefficients d'un polynôme.
- Repérer chaque terme de la forme \(a_k x^k\)
- Identifier le nombre multipliant la puissance
- Lister les coefficients trouvés dans l'ordre souhaité
On repère les termes, on lit le multiplicateur de \(x^k\), puis on inscrit ces nombres comme coefficients.
Classez ces vérifications pour décider qu'une expression n'est pas un polynôme.
- Repérer une division par la variable
- Repérer une puissance non entière
- Conclure que ce n'est pas un polynôme
La présence d'une division ou d'une puissance non entière suffit à conclure que l'expression n'est pas un polynôme.