Distance entre deux réels : texte à trous et remets dans l'ordre
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La distance entre deux réels \(a\) et \(b\), notée \(d(a,b)\), est définie comme la ? de leur différence : \(d(a,b)=|a-b|\).
Les 15 phrases à connaître
La distance entre deux réels \(a\) et \(b\), notée \(d(a,b)\), est définie comme la valeur absolue de leur différence : \(d(a,b)=|a-b|\).
La définition du cours donne explicitement \(d(a,b)=|a-b|\), donc la distance est la valeur absolue de la différence.
La distance est toujours positive ou nulle : \(d(a,b) \geq 0\).
Par définition et propriété, pour tous \(a,b\) on a \(d(a,b)\geq 0\), donc elle est positive ou nulle.
On a \(d(a,b)=0\) si et seulement si a = b.
Le cours précise que la distance est nulle exactement quand les deux réels sont égaux, donc \(d(a,b)=0\Leftrightarrow a=b\).
La distance est symétrique : \(d(a,b)=d(b,a)\).
La propriété donnée est la symétrie : échanger \(a\) et \(b\) ne change pas la valeur de \(d(a,b)\).
La distance satisfait la propriété triangulaire : pour tout \(a,b,c\), \(d(a,c) \leq d(a,b)+d(b,c)\).
L'inégalité \(d(a,c)\le d(a,b)+d(b,c)\) est précisément la propriété triangulaire rappelée dans le cours.
Pour \(a=3\) et \(b=7\), on calcule \(d(3,7)=|3-7|=4\).
Calculer \(|3-7|=|-4|=4\) donne bien la distance égale à 4.
Pour \(a=-2\) et \(b=3\), \(d(-2,3)=|-2-3|=5\).
On a \(-2-3=-5\) et donc \(|-5|=5\), d'où la distance égale à 5.
La notation \(d(a,b)\) sert à désigner la distance entre \(a\) et \(b\).
Le cours introduit \(d(a,b)\) pour nommer la distance entre les deux réels.
Si \(d(a,b)\) est petite, alors \(a\) et \(b\) sont proches.
Le texte explique que lorsqu'on obtient une petite distance, les nombres sont proches l'un de l'autre.
Si \(d(a,b)\) est grande, alors \(a\) et \(b\) sont éloignés.
Inversement, une grande valeur de \(d(a,b)\) indique que les réels sont éloignés.
La distance entre \(a\) et \(b\) s'écrit \(|a-b|\).
La formule clé du cours est \(d(a,b)=|a-b|\), donc l'expression correcte est \(|a-b|\).
L'inégalité triangulaire compare \(d(a,c)\) et \(d(a,b)+d(b,c)\).
La propriété donnée est \(d(a,c)\le d(a,b)+d(b,c)\), donc on compare \(d(a,c)\) à la somme \(d(a,b)+d(b,c)\).
La propriété '\(d(a,b)=0 \Leftrightarrow a=b\)' signifie qu'une distance nulle implique égalité.
La double implication indique que distance nulle et égalité des réels sont équivalentes.
Pour vérifier la symétrie, on compare \(d(a,b)\) et \(d(b,a)\).
La symétrie consiste précisément à vérifier que \(d(a,b)\) est égal à \(d(b,a)\).
La distance est une façon de quantifier l'proximité ou l'écart entre deux réels.
Le cours présente la distance comme un moyen de quantifier la proximité ou l'écart entre réels.
Les 6 séries dans le bon ordre
Mettre dans l'ordre les étapes pour calculer \(d(3,7)\).
- Calculer \(3-7\)
- Trouver la différence \(-4\)
- Prendre la valeur absolue
- Donner \(d(3,7)=4\)
On commence par la soustraction \(3-7\), on obtient \(-4\), puis on prend la valeur absolue pour obtenir \(4\).
Ordonner les étapes pour calculer \(d(-2,3)\).
- Calculer \(-2-3\)
- Évaluer la différence \(-5\)
- Prendre la valeur absolue
- Conclure \(d(-2,3)=5\)
La méthode est la même : soustraction, évaluation de la différence, puis valeur absolue pour obtenir 5.
Classer les étapes pour utiliser l'inégalité triangulaire afin d'estimer \(d(a,c)\).
- Connaître \(d(a,b)\) et \(d(b,c)\)
- Additionner \(d(a,b)+d(b,c)\)
- Comparer \(d(a,c)\) à la somme
- Conclure \(d(a,c)\le d(a,b)+d(b,c)\)
La triangulaire donne une majoration de \(d(a,c)\) par la somme des deux autres distances, d'où ces étapes.
Ordonner les étapes pour dire si deux réels sont proches en utilisant la distance.
- Calculer \(d(a,b)\)
- Comparer la valeur obtenue à une petite valeur
- Si la valeur est petite, conclure qu'ils sont proches
- Sinon dire qu'ils sont éloignés
On évalue d'abord la distance puis on la compare à un critère pour décider proximité ou éloignement.
Mettre dans l'ordre les étapes pour vérifier la symétrie de la distance.
- Calculer \(a-b\) et \(b-a\)
- Prendre la valeur absolue de chaque différence
- Comparer les deux valeurs absolues
- Conclure que \(d(a,b)=d(b,a)\)
La symétrie se voit en comparant \(|a-b|\) et \(|b-a|\), qui sont égales, d'où \(d(a,b)=d(b,a)\).
Ordonner les étapes pour comparer numériquement \(d(a,c)\) et \(d(a,b)+d(b,c)\).
- Calculer \(d(a,b)\)
- Calculer \(d(b,c)\)
- Additionner \(d(a,b)+d(b,c)\)
- Calculer \(d(a,c)\)
- Comparer \(d(a,c)\) et la somme
On calcule d'abord les deux distances intermédiaires, on somme, puis on calcule \(d(a,c)\) pour effectuer la comparaison conformément à la triangulaire.