Distances et milieux : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
2nde › Mathematiques › Vecteur et points du plan . Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 20 affirmations corrigées
La distance entre les points \((x_1,y_1)\) et \((x_2,y_2)\) est \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Vrai — C'est exactement la formule de la distance indiquée dans le cours.
Le milieu du segment joignant \((x_1,y_1)\) et \((x_2,y_2)\) est \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\).
Vrai — La formule du cours donne les coordonnées du point milieu comme moyennes arithmétiques.
La distance entre \(A(1,2)\) et \(B(4,6)\) vaut 5.
Vrai — En appliquant \(\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5\) on obtient 5.
Le milieu de \(A(2,3)\) et \(B(6,7)\) est \((4,5)\).
Vrai — La moyenne des abscisses est \((2+6)/2=4\) et des ordonnées \((3+7)/2=5\).
La distance entre \((0,0)\) et \((3,4)\) est 5.
Vrai — C'est l'exemple classique du cours: \(\sqrt{3^2+4^2}=5\).
La distance entre deux points est toujours positive ou nulle.
Vrai — La distance est une longueur, donc \(\geq 0\) comme expliqué dans le cours.
Le milieu est obtenu en faisant la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités.
Vrai — Le cours précise que le milieu a pour coordonnées les moyennes des abscisses et ordonnées.
Pour calculer une distance on soustrait coordonnée par coordonnée puis on élève au carré.
Vrai — La méthode indiquée est de calculer \(x_2-x_1\) et \(y_2-y_1\) avant d'élever au carré.
Il faut vérifier les calculs d'exposants et de racines pour éviter des erreurs.
Vrai — Le cours insiste sur la vérification étape par étape des exposants et racines.
La formule du milieu ne contient pas de racine carrée.
Vrai — Contrairement à la distance, la formule du milieu utilise des moyennes, sans racine.
La distance entre deux points est \((x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)\).
Faux — Il manque les carrés et la racine: la distance n'est pas la simple somme des différences.
Le milieu de A et B se calcule en faisant \(\left(\frac{x_2 - x_1}{2},\frac{y_2 - y_1}{2}\right)\).
Faux — Cette expression donne la demi-différence des coordonnées, pas la moyenne attendue pour le milieu.
La distance peut être négative si \(x_2 < x_1\).
Faux — La distance est une longueur toujours positive ou nulle, quel que soit l'ordre des abscisses.
On obtient le milieu en calculant \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1-y_2}{2}\right)\).
Faux — La formule correcte moyennant les deux ordonnées est \(\frac{y_1+y_2}{2}\), pas \(\frac{y_1-y_2}{2}\).
Pour la distance, il suffit d'additionner les valeurs absolues des différences des coordonnées.
Faux — Additionner les valeurs absolues donne une distance de type Manhattan, pas la distance euclidienne du cours.
Si A et B ont la même abscisse, la distance est \(|y_2 + y_1|\).
Faux — La distance verticale est \(|y_2-y_1|\), pas la somme des ordonnées.
La distance entre \(A(1,1)\) et \(B(1,5)\) est 3.
Faux — La différence d'ordonnées est \(5-1=4\), donc la distance vaut 4 et non 3.
Le milieu de \(A(0,0)\) et \(B(2,2)\) est \((2,2)\).
Faux — Le milieu se calcule par \(((0+2)/2,(0+2)/2)=(1,1)\), pas \((2,2)\).
On utilise une racine carrée dans la formule du milieu.
Faux — La racine carrée apparaît dans la distance, pas dans la formule du milieu qui est une moyenne.
Le milieu d'un segment est toujours l'origine du repère.
Faux — Le milieu dépend des coordonnées des extrémités et n'est pas systématiquement l'origine.
Les 10 notions à retenir
- Formule distance
- \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
- Formule milieu
- \(\left(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
- Distance
- Longueur du segment entre deux points, \(\geq 0\).
- Milieu
- Point central obtenu par moyenne des coordonnées.
- Coordonnées
- Couple \((x,y)\) qui localise un point.
- Vecteur AB
- Déplacement de A vers B donné par les différences de coordonnées.
- Exemple 3-4-5
- Triplet donnant une distance égale à 5 pour différences 3 et 4.
- Erreur fréquente
- Confondre racine (distance) et moyenne (milieu).
- Étapes calcul
- Soustraire, élever au carré, additionner, puis racine.
- Distance verticale
- Si mêmes abscisses, distance \(|y_2-y_1|\).
Les 14 phrases à connaître
La notion principale étudiée est le vecteur dans le plan.
Le cours introduit le concept de vecteur dans le plan comme notion principale.
La formule de la distance entre \((x_1,y_1)\) et \((x_2,y_2)\) est \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
La distance utilise la racine carrée de la somme des carrés des différences d'abscisses et d'ordonnées.
Le milieu d'un segment est calculé par \(\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\).
Le milieu se calcule en prenant la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
La distance entre \(A(1,2)\) et \(B(4,6)\) vaut 5.
On calcule \(x_2-x_1=3\) et \(y_2-y_1=4\) puis \(\sqrt{3^2+4^2}=5\).
La distance donne la longueur du segment.
La distance représente la longueur du segment, pas sa position ni son milieu.
Le milieu est le point central du segment.
Le milieu est le point central qui partage le segment en deux parties égales.
Dans l'exemple, \(x_2 - x_1 = 3\) pour \(A(1,2)\) et \(B(4,6)\).
Pour les abscisses on calcule \(4-1=3\), d'où la différence égale à 3.
La formule du milieu applique la moyenne arithmétique des coordonnées.
Le milieu prend la moyenne arithmétique des abscisses et des ordonnées.
Attention à ne pas confondre distance et coordonnées.
La distance est une longueur tandis que les coordonnées décrivent un point.
Pour vérifier un calcul de distance, on doit contrôler les exposants et la racine.
Il faut vérifier les exposants (carrés) avant de faire la racine pour la distance.
Exemple: la distance entre \(A(0,0)\) et \(B(3,4)\) est 5.
On calcule \(\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\) comme dans l'exemple du cours.
La méthode conseillée est d'effectuer le calcul étape par étape.
Le cours recommande de faire le calcul étape par étape pour éviter les erreurs.
Dans le calcul du milieu, on additionne puis on divise par 2.
Après avoir additionné les coordonnées on divise par 2 pour obtenir la moyenne.
La formule de la distance utilise la racine mathématique pour obtenir une longueur.
La racine carrée est utilisée pour passer de la somme des carrés à une longueur.
Les 6 séries dans le bon ordre
Ranger ces étapes pour calculer une distance du début à la fin.
- Identifier les coordonnées \(x_1,y_1,x_2,y_2\)
- Calculer \(x_2-x_1\) et \(y_2-y_1\)
- Calculer les carrés et leur somme \((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\)
- Prendre la racine carrée pour obtenir la distance
On commence par repérer les coordonnées, puis les différences, on élève au carré et enfin on prend la racine.
Ranger ces étapes pour déterminer le milieu d'un segment.
- Identifier les coordonnées \(x_1,y_1,x_2,y_2\)
- Calculer \((x_1+x_2)/2\) et \((y_1+y_2)/2\)
- Donner le point milieu \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
On identifie d'abord les coordonnées, on calcule les moyennes et on forme le point milieu.
Ranger ces étapes de l'exemple pour calculer \(\overline{AB}\) avec \(A(1,2),B(4,6)\).
- Identifier \(x_1=1,y_1=2,x_2=4,y_2=6\)
- Calculer \(x_2-x_1=3\) et \(y_2-y_1=4\)
- Calculer \(3^2+4^2=25\)
- Calculer \(\sqrt{25}=5\)
L'exemple suit l'ordre : lire les coordonnées, trouver les différences, sommer les carrés, puis extraire la racine.
Ranger ces étapes de l'exemple pour trouver le milieu de \([AB]\) avec \(A(2,3),B(6,7)\).
- Identifier coordonnées \(x_1=2,y_1=3,x_2=6,y_2=7\)
- Calculer \((2+6)/2\) et \((3+7)/2\)
- Simplifier pour obtenir le milieu \((4,5)\)
On lit d'abord les coordonnées, on calcule les moyennes puis on simplifie pour obtenir le point milieu.
Ranger ces vérifications à faire après un calcul de distance.
- Vérifier les différences \(x_2-x_1\) et \(y_2-y_1\)
- Vérifier les exposants (carrés)
- Vérifier la somme des carrés
- Vérifier l'extraction de la racine
Pour contrôler un calcul on revoie les différences, les carrés, la somme et enfin la racine.
Ranger ces bonnes pratiques pour calculer vite et sans erreur.
- Écrire la formule adaptée (distance ou milieu)
- Remplacer les valeurs numériques
- Calculer étape par étape
- Vérifier chaque étape
La méthode conseillée est d'écrire la formule, substituer les valeurs, calculer progressivement et vérifier.