Distinction entre modèle théorique et réalité : vrai ou faux et Memory

Un univers fini est un ensemble fini d'issues \(\Omega\).

Vrai — Par définition un univers fini contient un nombre fini d'issues, noté \(\Omega\).

Si toutes les issues sont équiprobables, \(P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}\).

Vrai — La formule \(P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}\) vaut précisément en cas d'équiprobabilité.

Pour un dé équitable à 6 faces, \(P(\{6\})=\dfrac{1}{6}\).

Vrai — Avec \(|\Omega|=6\) et une issue favorable, on a \(P(\{6\})=1/6\).

On peut attribuer des probabilités \(p_i\) aux issues non équiprobables avec \(\sum_i p_i=1\).

Vrai — La somme des probabilités des issues doit être égale à \(1\) quel que soit le modèle.

La fréquence expérimentale après \(n\) essais est \(f_n(A)=\dfrac{\text{occurrences de }A}{n}\).

Vrai — La fréquence se calcule en divisant le nombre d'occurrences de \(A\) par le nombre d'essais \(n\).

La loi des grands nombres : quand \(n\) est très grand, \(f_n(A)\) tend vers \(P(A)\) si le modèle est correct.

Vrai — L'idée est que la fréquence converge vers la probabilité théorique pour un grand nombre d'essais si le modèle tient.

Un petit nombre d'essais peut donner une fréquence éloignée de la probabilité théorique.

Vrai — Avec peu d'essais la variabilité aléatoire peut produire des écarts importants sans invalider le modèle.

Avant de rejeter un modèle, il faut vérifier la taille de l'échantillon et les biais expérimentaux.

Vrai — Il faut augmenter \(n\) et vérifier les conditions expérimentales avant de conclure que le modèle est faux.

Si \(|\Omega|=4\) et \(|A|=1\), alors sous équiprobabilité \(P(A)=\dfrac{1}{4}\).

Vrai — La formule \(P(A)=|A|/|\Omega|\) donne ici \(1/4\) quand les issues sont équiprobables.

Comparer fréquence observée et probabilité théorique permet de tester un modèle.

Vrai — La comparaison met en évidence des écarts qu'il faut expliquer par biais ou variabilité.

Si on observe 60 piles sur 100 lancers, la pièce est forcément truquée.

Faux — Un écart de 0,1 sur 100 essais n'est pas une preuve formelle de truquage, il faut plus d'essais ou un test.

Après \(n\to\infty\), la fréquence expérimentale est exactement égale à la probabilité.

Faux — La loi dit que la fréquence tend vers la probabilité, elle n'affirme pas une égalité exacte pour des \(n\) finis ni une égalité formelle à l'infini.

La formule \(P(A)=|A|/|\Omega|\) s'applique même si les issues ne sont pas équiprobables.

Faux — Cette formule n'est valable que dans le cas où toutes les issues ont la même probabilité.

Si \(f_n(A)\) diffère de \(P(A)\) pour un petit \(n\), le modèle est nécessairement incorrect.

Faux — Un petit échantillon peut produire des résultats surprenants sans remettre en cause le modèle.

Pour un dé truqué on doit toujours avoir \(P(6)=0{,}2\).

Faux — La probabilité d'une face truquée dépend du modèle ; l'exemple de \(0{,}2\) était une fréquence observée, pas une obligation.

L'écart entre fréquence et probabilité augmente toujours quand on augmente \(n\).

Faux — En général l'écart tend à diminuer quand \(n\) augmente, d'après l'idée de la loi des grands nombres.

On peut conclure qu'une pièce est équitable si on obtient exactement 50% de piles sur 10 lancers.

Faux — Dix lancers constituent un petit échantillon, insuffisant pour valider l'équiprobabilité.

La somme des probabilités des issues peut être différente de \(1\) si les issues sont dépendantes.

Faux — La somme des probabilités des issues de l'univers vaut toujours \(1\), indépendamment de dépendance.

La fréquence \(f_n(A)\) se calcule en divisant \(n\) par le nombre d'occurrences de \(A\).

Faux — La fréquence est le nombre d'occurrences divisé par \(n\), pas l'inverse.

Augmenter le nombre d'essais et vérifier l'expérience sont inutiles pour décider si le modèle est valide.

Faux — Le cours indique au contraire qu'il faut augmenter \(n\) et vérifier les biais avant de remettre en cause le modèle.