Épreuves successives, indépendance : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 19 affirmations corrigées
Deux épreuves successives sont indépendantes si la réussite de la première n'influence pas la probabilité de la réussite de la seconde.
Vrai — L'indépendance implique que la probabilité conditionnelle est égale à la probabilité inconditionnelle.
Si deux événements sont indépendants, alors leur intersection est toujours vide.
Faux — Deux événements indépendants peuvent se produire simultanément, leur intersection n'est pas vide.
La probabilité qu'un événement irrégulier se produise après une première réalisation dépend de la première réalisation.
Faux — C'est le cas seulement si les événements ne sont pas indépendants.
L'indépendance entre deux événements A et B se vérifie si P(AB) = P(A) × P(B).
Vrai — C'est la définition de l'indépendance pour deux événements élémentaires.
Les épreuves successives indépendantes ont une probabilité de succès globale égale au produit de leurs probabilités successives.
Vrai — Pour des événements indépendants, la probabilité conjointe est le produit des probabilités.
Faire une première expérience qui ne modifie pas la probabilité de la deuxième garantit leur indépendance.
Faux — Ce n'est qu'une condition suffisante, pas forcément nécessaire, à l'indépendance.
Si deux événements sont dépendants, alors leur probabilité conjointe est différente de leur produit de probabilités.
Vrai — La dépendance implique que P(AB) ≠ P(A)×P(B).
La notion d'indépendance ne concerne que les expériences à deux essais successifs.
Faux — Elle s'applique à tout nombre d'expériences ou d'événements.
Dans un tirage avec remise, les événements sont toujours indépendants.
Vrai — Le tirage avec remise garantit l'indépendance entre les événements.
L'indépendance implique que P(A∩B) = P(A) + P(B).
Faux — Ce n'est valable que pour des événements mutuellement exclusifs, pas indépendants.
Pour deux événements, la dépendance et l'exclusivité sont la même chose.
Faux — La dépendance concerne la probabilité conditionnelle, l'exclusivité concerne la relation d'événements incompatibles.
Si la probabilité conditionnelle P(B|A) diffère de P(B), alors A et B sont dépendants.
Vrai — Une différence indique une dépendance entre les événements.
La référence à des épreuves successives est inutile pour analyser l'indépendance.
Faux — Les épreuves successives sont un contexte courant pour étudier l'indépendance.
L'événement « tirage d'une carte rouge » et « tirage d'une carte face visible » sont généralement dépendants.
Vrai — La couleur influence la possibilité d'une face visible selon le contexte.
L'indépendance est toujours transitive entre trois événements.
Faux — L'indépendance entre deux peut ne pas impliquer celle entre tous trois.
Pour évaluer l'indépendance, il suffit de vérifier P(A∩B) versus P(A)×P(B).
Vrai — C'est la définition formelle de l'indépendance.
L'indépendance entre deux événements doit être prouvée expérimentalement à chaque fois.
Faux — Il suffit de vérifier la condition mathématique théorique.
Lorsqu'on considère des épreuves successives indépendantes, la réussite à la première n'a aucune influence sur la probabilité de la réussite à la deuxième.
Vrai — C'est la définition même de l'indépendance entre épreuves.
Une probabilité conditionnelle de 1 indique une dépendance forte entre deux événements.
Vrai — P(B|A) = 1 signifie que B est certain si A se produit, montrant une dépendance.
Les 10 notions à retenir
- Indépendance
- Deux événements dont la survenue n'influence pas l'autre
- Probabilité conditionnelle
- Probabilité d'un événement sachant qu'un autre s'est produit
- Épreuve successive
- Expérience répétée où chaque résultat peut dépendre ou non des précédents
- P(AB)
- Probabilité de l'intersection des événements A et B
- P(B|A)
- Probabilité de B sachant A s'est produit
- Tirage avec remise
- Tirage où l'élément est replacé après chaque sélection
- Dépendance
- Deux événements dont la probabilité est affectée par l'autre
- Mutuellement exclusifs
- Événements qui ne peuvent pas se produire en même temps
- Union A∪B
- Événement que A ou B ou les deux se produisent
- Intersection A∩B
- Événement que A et B se produisent tous les deux
Les 13 phrases à connaître
La probabilité conditionnelle de A sachant B est notée P\left( A \mid B \right).
La notation P\left( A \mid B \right) représente la probabilité de A sachant B.
Deux événements sont indépendants si P\left( A \cap B \right) = P\left( A \right) \times P\left( de A et B est la même que leur probabilité conjointe.
Deux événements sont indépendants si la probabilité conjointe est le produit de leurs probabilités.
L'application du théorème de Bayes requiert le calcul de P\left( B \mid A \right).
Le théorème de Bayes permet de calculer P\left( B \mid A \right) à partir des autres probabilités.
L'événement impossible a pour probabilité 0.
Un événement impossible a une probabilité nulle, soit 0.
La probabilité totale peut s'obtenir en utilisant la formule de la probabilité totale.
La formule de la probabilité totale permet de décomposer une probabilité en plusieurs cas.
L'indépendance implique que la connaissance de B n'affecte pas la probabilité de A.
Lorsque A et B sont indépendants, connaître B ne modifie pas la probabilité de A.
Une épreuve est dite indépendante si le résultat de l'une n'influence pas l'autre.
L'indépendance signifie que le résultat d'une épreuve n'affecte pas celui de l'autre.
Le théorème de la probabilité conditionnelle est utilisé pour calculer la probabilité d'un événement en connaissant un aut.
Il sert à calculer P\left( A \mid B \right) en utilisant d'autres probabilités.
Lorsqu'un événement A est certain, sa probabilité est 1.
Un événement certain a une probabilité de 1.
La complémentaire d'un événement A est l'événement que A ne se produise pas.
La complémentaire de A est l'événement contraire, c'est-à-dire qu'A ne se produit pas.
Un exemple d'événement indépendant pourrait être lancer une pièce et tirer une carte.
Le lancer de pièce et le tirage d'une carte sont généralement considérés comme indépendants.
Le calcul de la probabilité conjointe en cas d'indépendance se simplifie en produit des probabilités individuelles.
Pour deux événements indépendants, P\left( A \cap B \right) = P\left( A \right) \times P\left( B \right).
L'application du théorème de Bayes nécessite de connaître la probabilité a priori et la vraisemblance.
Le théorème de Bayes nécessite la connaissance de la probabilité a priori et de la vraisemblance.
Les 5 séries dans le bon ordre
Mettre en ordre les étapes pour calculer une probabilité conditionnelle.
- Identifier l'événement A
- Identifier l'événement B
- Calculer P( A et B )
- Calculer P( B )
- Calculer P( A \mid B )
On commence par identifier les événements, puis calculer leur probabilité conjointe, puis la probabilité conditionnelle en divisant par P( B ).
Ordonner les étapes pour vérifier l'indépendance de deux événements.
- Calculer P( A )
- Calculer P( B )
- Calculer P( A \cap B )
- Comparer P( A \cap B ) à P( A ) \times P( B )
L'indépendance est vérifiée si P( A \cap B ) = P( A ) \times P( B ).
Classer ces événements selon leur probabilité, du plus petit au plus grand.
- Événement impossible
- Événement certain
- Événement improbable
- Événement très probable
L'événement impossible a la plus petite probabilité (0), certain la plus grande (1).
Ordonner la procédure pour appliquer le théorème de Bayes.
- Calculer P( B \mid A )
- Calculer P( A ) et P( B )
- Utiliser la formule de Bayes pour P( A \mid B )
On commence par connaître P( B \mid A ), puis P( A ), P( B ), et enfin on applique la formule.
Classer ces événements selon leur nature, du plus général au plus précis.
- Événement initial
- Événement conditionnel
- Événement complété
L'événement initial est la situation de départ, le conditionnel précise la condition, le complété est la combinaison.