Étude de fonctions avec variations, tangentes : vrai ou faux et Memory
Tle › Mathematiques › Dérivation et convexité. Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 20 affirmations corrigées
La dérivée \(f'\) mesure le taux de variation instantané de \(f\).
Vrai — Par définition la fiche indique que \(f'\) mesure le taux de variation instantané.
On note aussi la dérivée \(\frac{df}{dx}\).
Vrai — La fiche précise les notations \(f'\) ou \(\frac{df}{dx}\).
La pente de la tangente en \(a\) est \(f'(a)\).
Vrai — La fiche indique que la dérivée en \(a\) est la pente de la tangente.
Équation de la tangente en \(a\) : \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\).
Vrai — La fiche donne explicitement cette formule pour la tangente en \(a\).
Si \(f'(a) > 0\), alors \(f\) est croissante en \(a\).
Vrai — La fiche affirme que \(f'(a)>0\) indique une croissance locale.
Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante sur cet intervalle.
Vrai — La fiche rappelle que le signe de \(f'\) sur un intervalle détermine la variation.
Les points où \(f'(x)=0\) sont des candidats pour des extrema locaux.
Vrai — La fiche précise que les solutions de \(f'(x)=0\) sont candidats aux extrema locaux.
La dérivée seconde \(f''\) renseigne sur la convexité.
Vrai — La fiche associe le signe de \(f''\) à la convexité et à la concavité.
Si \(f''(x) > 0\), la fonction est convexe en ce point.
Vrai — La fiche indique que \(f''>0\) correspond à une courbure vers le haut (convexité).
Pour l'exemple \(f(x)=x^3-3x+1\), \(f'(x)=3x^2-3\).
Vrai — La fiche calcule explicitement \(f'(x)=3x^2-3\) pour cet exemple.
Si \(f'(a)=0\), alors \(a\) est obligatoirement un maximum.
Faux — La fiche rappelle que \(f'(a)=0\) donne un candidat mais n'assure pas un maximum.
Si \(f''(x)=0\), alors c'est forcément un point d'inflexion.
Faux — La fiche précise que \(f''(x)=0\) peut indiquer un point d'inflexion, mais ce n'est pas obligatoire.
La dérivée seconde positive signifie décroissance.
Faux — C'est faux : \(f''>0\) indique convexité, pas la décroissance de \(f\).
La tangente en \(a\) passe toujours par l'origine.
Faux — La tangente passe par \((a,f(a))\), pas nécessairement par l'origine.
Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est convexe sur cet intervalle.
Faux — Le signe de \(f'\) donne la variation ; la convexité dépend de \(f''\), pas de \(f'\).
Pour \(f(x)=x^3-3x+1\), les points critiques sont \(x=0\) et \(x=1\).
Faux — Avec \(f'(x)=3x^2-3\) on trouve \(x=\pm 1\) comme points critiques, pas \(0\).
Si \(f'(a)>0\), la fonction décroît en \(a\).
Faux — La fiche indique l'inverse : \(f'(a)>0\) signifie croissance locale.
Les points où \(f'\) change de signe ne sont pas candidats aux extrema.
Faux — Au contraire, la fiche indique que les changements de signe de \(f'\) donnent des candidats aux extrema.
La dérivée se calcule toujours par \(f'(x)=f(x+1)-f(x)\).
Faux — La fiche définit la dérivée comme taux de variation instantané, pas une différence sur 1.
Un changement du signe de \(f''\) n'affecte pas la courbure.
Faux — La fiche explique que le changement de signe de \(f''\) peut indiquer un point d'inflexion donc un changement de courbure.
Les 10 notions à retenir
- Dérivée
- Taux de variation instantané d'une fonction.
- Notation de la dérivée
- \(f'\) ou \(\frac{df}{dx}\).
- Tangent en a
- Droite de pente \(f'(a)\) touchant le graphe en \(a\).
- Formule tangente
- \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\).
- Point critique
- Point où \(f'(x)=0\) ou \(f'\) change de signe.
- Extrema locaux
- Maximum ou minimum atteints localement.
- Dérivée seconde
- Dérivée de \(f'\), notée \(f''\).
- Convexité
- Courbure vers le haut quand \(f''(x)>0\).
- Point d'inflexion
- Point où la courbure change, souvent \(f''(x)=0\).
- Exemple f(x)
- Pour \(x^3-3x+1\): \(f'(x)=3x^2-3,\ f''(x)=6x\).