Étude du signe, résolution d’équations et inéquations : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre

Une fonction du second degré s'écrit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\).

Vrai — C'est la forme générale donnée pour les fonctions du second degré.

Le discriminant se calcule par \(\Delta=b^2-4ac\).

Vrai — Le cours définit explicitement \(\Delta\) comme \(b^2-4ac\).

Si \(\Delta<0\), l'équation \(f(x)=0\) n'a pas de solution réelle.

Vrai — Un discriminant négatif signifie l'absence de racines réelles.

Si \(\Delta=0\), l'équation \(f(x)=0\) admet une unique racine double \(x=-\frac{b}{2a}\).

Vrai — Le cours précise la solution unique double en \(x=-\frac{b}{2a}\).

Si \(\Delta>0\), l'équation \(f(x)=0\) a deux solutions réelles distinctes.

Vrai — Un discriminant positif correspond à deux racines réelles distinctes.

Pour \(a>0\) et \(\Delta>0\), \(f(x)\ge 0\) pour \(x\le x_1\) ou \(x\ge x_2\) si \(x_1<x_2\).

Vrai — Quand la parabole ouvre vers le haut, la fonction est positive en dehors des racines.

Pour \(a>0\) et \(\Delta<0\), on a \(f(x)>0\) pour tout \(x\).

Vrai — Sans racine réelle et avec \(a>0\), la parabole reste au-dessus de l'axe des abscisses.

La parabole s'ouvre vers le haut si \(a>0\) et vers le bas si \(a<0\).

Vrai — Le signe de \(a\) détermine la direction d'ouverture de la parabole.

Les racines d'une fonction quadratique dépendent des coefficients \(a,b,c\) et du discriminant \(\Delta\).

Vrai — Les formules des racines utilisent directement \(a,b,c\) et \(\Delta\).

Pour résoudre \(f(x)\ge 0\), on étudie le signe de \(f\) sur chaque intervalle défini par les racines.

Vrai — La méthode expliquée consiste à utiliser l'étude du signe et les intervalles entre racines.

Si \(a>0\) et \(\Delta=0\), alors \(f(x)>0\) pour tout \(x\).

Faux — Faux: pour \(\Delta=0\) la fonction prend la valeur 0 en le sommet, donc \(f(x)\ge 0\) mais pas strictement \(>0\).

La formule du discriminant est \(\Delta=b^2+4ac\).

Faux — Erreur de signe: la formule correcte est \(\Delta=b^2-4ac\).

Si \(\Delta>0\) et \(a>0\), alors \(f(x)\) est négative en dehors des racines.

Faux — Inversion: pour \(a>0\) la fonction est positive en dehors des racines, négative entre elles.

La double racine pour \(\Delta=0\) est \(x=\frac{b}{2a}\).

Faux — Signe incorrect: la racine double vaut \(x=-\frac{b}{2a}\), pas \(\frac{b}{2a}\).

Si \(\Delta<0\), la parabole coupe l'axe des x en un point.

Faux — Faux: un discriminant négatif signifie qu'il n'y a aucune intersection réelle avec l'axe des x.

Pour \(a<0\) on a toujours \(f(x)\ge 0\) pour tout \(x\).

Faux — Erreur: si \(a<0\) la parabole ouvre vers le bas et prend des valeurs négatives pour |x| grands.

Les solutions pour \(\Delta>0\) sont \(x=\frac{-b\pm\Delta}{2a}\).

Faux — Confusion: il faut \(\sqrt{\Delta}\) dans la formule, pas \(\Delta\) lui-même.

Si \(x_1\) et \(x_2\) sont racines, alors pour \(a>0\) on a \(f(x)\le 0\) pour \(x\le x_1\) ou \(x\ge x_2\).

Faux — Sens inversé: pour \(a>0\) la fonction est \(\ge 0\) en dehors des racines, \(\le 0\) entre elles.

Le sommet a pour abscisse \(x=\frac{-b}{a}\).

Faux — Facteur erroné: l'abscisse du sommet est \(x=-\frac{b}{2a}\), avec le 2 au dénominateur.

On peut toujours conclure sur le signe de \(f\) sans calculer \(\Delta\).

Faux — Généralement il faut le discriminant pour déterminer l'existence et la position des racines, donc le signe.

Dans \(\Delta = b^2 - 4ac\), les nombres \(a, b, c\) sont les coefficients du trinôme.

Le discriminant se calcule avec les coefficients \(a, b, c\) du trinôme \(ax^2+bx+c\).

Pour résoudre \(ax^2 + bx + c = 0\), on calcule d'abord \(\Delta\), le discriminant.

Le discriminant \(\Delta\) détermine le nombre de solutions réelles de l'équation.

Si \(\Delta > 0\), alors l'équation \(ax^2+bx+c=0\) a deux racines réelles distinctes.

Un discriminant strictement positif donne deux solutions réelles distinctes.

Le nombre \(-\frac{b}{2a}\) est l'abscisse du sommet de la parabole.

L'abscisse du sommet est \(x_S=-\frac{b}{2a}\) ; son ordonnée est \(f(x_S)\).

L'inéquation \(ax^2 + bx + c \geq 0\) se résout en étudiant le signe du trinôme.

L'étude du signe permet de déterminer où le trinôme est positif ou nul.

Lorsque \(\Delta>0\), la forme factorisée du trinôme est \(a(x - x_1)(x - x_2)\), où \(x_1, x_2\) sont les racines du trinôme.

Les racines sont les valeurs de \(x\) où le trinôme s'annule.

On peut compléter le carré pour écrire \(ax^2 + bx + c\) sous la forme \(a(x - m)^2 + n\), cette méthode s'appelle complétion du carré.

La complétion du carré permet de mettre le trinôme en forme canonique.

Lorsque \(a > 0\), la parabole est ouverte vers le haut.

Un coefficient positif indique une parabole ouverte vers le haut.

On résume l'étude du signe d'un trinôme dans un tableau de signes.

Le tableau de signes indique, intervalle par intervalle, où le trinôme est positif ou négatif.

Lorsque \(a > 0\), le sommet de la parabole correspond au minimum de la fonction.

Si \(a>0\), la parabole est tournée vers le haut : son sommet est son point le plus bas, le minimum.

Lorsque \(\Delta < 0\), l'équation \(ax^2+bx+c=0\) a aucune racine réelle.

Un discriminant strictement négatif indique qu'il n'y a pas de racine réelle.

La méthode « complétion du carré » permet de trouver la forme canonique d'une parabole.

La forme canonique met en évidence le sommet et le sens d'ouverture.