Formes factorisée, canonique, développée : vrai ou faux et Memory
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Révision : les 20 affirmations corrigées
Une fonction polynôme du second degré s'écrit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\).
Vrai — La forme développée d'un polynôme du second degré est \(ax^2+bx+c\) et \(a\) ne peut pas être nul.
Dans la forme canonique \(a(x-h)^2+k\), l'axe de symétrie est \(x=h\).
Vrai — L'axe de symétrie est la droite verticale passant par l'abscisse \(h\) du sommet.
On a \(h=-\dfrac{b}{2a}\) pour la forme canonique.
Vrai — L'abscisse du sommet se calcule par la formule \(h=-b/(2a)\).
On peut écrire \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) si \(\Delta\ge 0\).
Vrai — Si le discriminant est non négatif, il existe des racines réelles \(x_1\) et \(x_2\).
Si \(a>0\), la parabole admet un minimum.
Vrai — Un coefficient \(a>0\) ouvre la parabole vers le haut, donc le sommet est un minimum.
La formule des racines s'écrit \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Vrai — C'est l'expression standard des racines en fonction du discriminant \(\Delta\).
On peut exprimer \(k\) par \(k=-\dfrac{\Delta}{4a}\) dans la forme canonique.
Vrai — On montre algébriquement que l'ordonnée du sommet vaut \(k=-\Delta/(4a)\).
La forme factorisée conserve le coefficient principal \(a\) devant les facteurs.
Vrai — Le coefficient \(a\) se place devant le produit \( (x-x_1)(x-x_2)\) dans la forme factorisée.
Si \(\Delta<0\), la fonction a deux racines réelles.
Faux — Un discriminant négatif signifie qu'il n'y a pas de racines réelles, seulement des racines complexes.
L'axe de symétrie d'une parabole est donné par \(y=k\).
Faux — L'axe de symétrie est la droite verticale \(x=h\); \(y=k\) est l'ordonnée du sommet.
Pour calculer \(h\) on utilise \(h=\dfrac{b}{2a}\).
Faux — La formule correcte est \(h=-b/(2a)\) : le signe moins devant \(b\) est nécessaire.
On peut toujours factoriser un trinôme quel que soit le discriminant \(\Delta\).
Faux — La factorisation réelle n'est possible que si \(\Delta\ge 0\).
La forme factorisée de \(2x^2-4x-6\) est \((x+1)(x-3)\).
Faux — Il manque le coefficient \(2\); la forme correcte est \(2(x+1)(x-3)\).
Si \(a<0\), la parabole a un minimum.
Faux — Quand \(a<0\) la parabole ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.
Dans la forme canonique \(a(x-h)^2+k\), \(k\) est l'abscisse du sommet.
Faux — Dans cette forme \(h\) est l'abscisse et \(k\) est l'ordonnée du sommet.
La valeur \(k\) est toujours égale à \(f(0)\).
Faux — En général \(k=f(h)\); \(f(0)=c\) est l'ordonnée à l'origine, pas forcément \(k\).
Les racines s'écrivent \(x=\dfrac{b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Faux — La formule correcte comporte \(-b\pm\sqrt{\Delta}\) au numérateur, donc le signe de \(b\) est négatif.
L'ordonnée à l'origine d'une parabole est le coefficient \(c\).
Vrai — Dans la forme développée \(ax^2+bx+c\), on a \(f(0)=c\), l'ordonnée à l'origine.
La forme canonique permet d'identifier directement le sommet \((h,k)\).
Vrai — Écrire \(a(x-h)^2+k\) met en évidence le sommet \((h,k)\) de la parabole.
La relation \(k=-\dfrac{\Delta}{2a}\) relie \(k\) et \(\Delta\).
Faux — La relation correcte est \(k=-\Delta/(4a)\), le dénominateur doit être \(4a\).
Les 10 notions à retenir
- Forme développée
- Expression \(ax^2+bx+c\) pour calculer des valeurs.
- Forme factorisée
- Écriture \(a(x-x_1)(x-x_2)\) lisant les racines.
- Forme canonique
- Écriture \(a(x-h)^2+k\) mettant en évidence le sommet.
- Discriminant Δ
- Valeur \(\Delta=b^2-4ac\) déterminant la nature des racines.
- Racines
- Valeurs de \(x\) telles que \(f(x)=0\).
- Sommet
- Point \((h,k)\) extrémum de la parabole.
- Axe de symétrie
- Droite verticale donnée par \(x=h\).
- h
- Abscisse du sommet: \(-\dfrac{b}{2a}\).
- k
- Ordonnée du sommet: \(f(h)= -\dfrac{\Delta}{4a}\).
- Condition de factorisation
- Factorisation réelle possible si \(\Delta\ge 0\).