Identités remarquables : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 15 affirmations corrigées
Le carré de la somme \(a+b\) s'écrit \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Vrai — C'est la formule classique du développement de \( (a+b)^2 \).
L'identité de la différence de deux carrés s'écrit \(a^2 - b^2 = (a - b)^2\).
Faux — Elle est égale à \( (a - b)(a + b) \).
L'expression \( (x - 3)^2 \) se développe en \( x^2 - 6x + 9 \).
Vrai — C'est la formule du carré d'une différence : \( (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \).
L'identité remarquable de la somme de deux carrés est \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 \).
Faux — C'est faux : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), il manque le terme \(2ab\). Il n'existe pas d'identité remarquable qui factorise \(a^2 + b^2\).
La formule du cube de la somme est \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).
Vrai — C'est la formule du développement du cube d'une somme.
L'identité de la différence de deux cubes s'écrit \( a^3 - b^3 = (a - b)^3 \).
Faux — Elle s'écrit \( (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).
L'identité remarquable pour le carré de la différence est \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
Vrai — C'est la formule du carré d'une différence.
L'expression \( (2x+3)^2 \) se développe en \( 4x^2 + 9 \).
Faux — Elle se développe en \( 4x^2 + 12x + 9 \).
L'identité remarquable du cube de la différence est \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \).
Vrai — C'est la formule du développement du cube d'une différence.
L'expression \( (x+5)^2 \) se développe en \( x^2 + 10x + 25 \).
Vrai — C'est la formule du carré d'une somme.
L'identité remarquable de la différence de deux carrés est \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \).
Vrai — C'est la factorisation classique de la différence de deux carrés.
L'expression \( (x - 4)^2 \) se développe en \( x^2 - 8x + 16 \).
Vrai — C'est la formule du carré d'une différence.
L'expression \( (x + 7)^2 \) se développe en \( x^2 + 14x + 49 \).
Vrai — C'est la formule du carré d'une somme.
L'identité remarquable du carré d'une différence ne comporte pas de terme en \(ab\).
Faux — Le carré d'une différence comporte le terme \(-2ab\) : \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
L'expression \( (3x - 2)^2 \) se développe en \( 9x^2 - 12x + 4 \).
Vrai — C'est la formule du carré d'une différence.
Les 10 notions à retenir
- \( (a+b)^2 \)
- Développement du carré de la somme, égal à \( a^2 + 2ab + b^2 \).
- \( (a-b)^2 \)
- Développement du carré de la différence, égal à \( a^2 - 2ab + b^2 \).
- \( a^2 - b^2 \)
- Différence de deux carrés, qui se factorise en \( (a + b)(a - b) \).
- \( (a + b)^3 \)
- Développement du cube de la somme, égal à \( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).
- \( (a - b)^3 \)
- Développement du cube de la différence, égal à \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \).
- \( a^3 + b^3 \)
- Somme de deux cubes, qui se factorise en \( (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).
- \( a^3 - b^3 \)
- Différence de deux cubes, qui se factorise en \( (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).
- \( (x+5)^2 \)
- Développement du carré d'une somme, égal à \( x^2 + 10x + 25 \).
- \( (x - 4)^2 \)
- Développement du carré d'une différence, égal à \( x^2 - 8x + 16 \).
- \( (a+b)(a-b) \)
- Produit de deux expressions conjuguées, égal à \( a^2 - b^2 \).
Les 14 phrases à connaître
L'identité qui écrit \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) s'appelle le carré d'une somme.
La formule \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) est précisément appelée 'carré d'une somme'.
La formule \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) correspond au carré d'une différence.
La présence du terme \(-2ab\) caractérise le carré d'une différence.
L'identité \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) s'appelle le produit conjugué.
Le produit de deux binômes conjugués est nommé produit conjugué et donne \(a^2-b^2\).
En développant \((x + 3)^2\) on obtient \(x^2 + 6x + 9\).
Avec \(a=x\) et \(b=3\), \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) donne \(x^2+6x+9\).
Pour factoriser \(x^2 - 25\) on reconnaît une différence de carrés.
On écrit \(x^2-25\) comme \(x^2-5^2\), c'est donc une différence de carrés.
La factorisation de \(x^2 - 25\) donne \((x + 5)(x - 5)\).
Avec \(a=x\) et \(b=5\), la formule \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) donne \((x+5)(x-5)\).
Dans \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), le terme central est \(2ab\).
Le terme du milieu obtenu par le développement est bien \(2ab\) d'après la formule.
Confondre \((a + b)^2\) et \((a - b)^2\) est une erreur fréquente.
Le cours signale que confondre ces deux identités est une erreur fréquente.
Après avoir appliqué une identité remarquable pour développer, il faut réduire l'expression obtenue.
On regroupe les termes semblables pour obtenir une expression réduite, par exemple \(x^2 + 6x + 9\).
L'identité remarquable aide à simplifier rapidement certains calculs en algèbre.
La définition précise que les identités remarquables servent à simplifier rapidement des calculs.
La formule récapitulative du produit conjugué est \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).
Le produit de deux expressions conjuguées se récapitule par \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
Un 'carré parfait' est une expression de la forme \(a^2\).
Un carré parfait est un carré d'une expression, par exemple \(a^2\).
Pour appliquer \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) il faut reconnaître deux carrés.
La formule s'applique à une différence de deux carrés : il faut reconnaître \(a^2\) et \(b^2\).
Un des objectifs du cours est de savoir les reconnaître et les utiliser pour développer ou factoriser des expressions.
Le cours indique qu'il faut savoir reconnaître les identités remarquables et les utiliser pour développer ou factoriser.
Les 6 séries dans le bon ordre
Remettre dans l'ordre les étapes pour développer \((x + 3)^2\) (du premier au dernier).
- Identifier la formule à utiliser
- Remplacer \(a\) par \(x\) et \(b\) par \(3\)
- Appliquer \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- Calculer \(2\times x\times 3\) et \(3^2\)
- Écrire le résultat final \(x^2+6x+9\)
On identifie la formule, on remplace les lettres, on applique la formule, on calcule les produits puis on écrit le résultat.
Remettre dans l'ordre les étapes pour factoriser \(x^2-25\) par la méthode du cours.
- Reconnaître la forme \(a^2-b^2\)
- Identifier \(a=x\) et \(b=5\)
- Appliquer \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
- Écrire la factorisation \((x+5)(x-5)\)
On repère la différence de carrés, on identifie les termes, on applique la formule puis on écrit les facteurs.
Remettre dans l'ordre les étapes pour vérifier que \(x^2 + 6x + 9\) est un carré parfait.
- Repérer les deux carrés : \(x^2 = a^2\) et \(9 = 3^2 = b^2\)
- Calculer le double produit \(2ab = 2 \times x \times 3 = 6x\)
- Comparer avec le terme restant \(6x\)
- Conclure : \(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\)
On repère les deux carrés, on calcule le double produit, on le compare au terme restant, puis on conclut.
Remettre dans l'ordre les étapes pour factoriser une différence de deux carrés.
- Repérer une différence de deux carrés
- Écrire les deux termes sous la forme \(a^2\) et \(b^2\)
- Appliquer la formule \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
- Écrire les deux facteurs conjugués
On identifie les carrés, on applique la formule, puis on écrit les deux facteurs conjugués.
Remettre dans l'ordre la liste récapitulative donnée dans le cours (ordre présenté).
- Carré d'une somme \((a+b)^2\)
- Carré d'une différence \((a-b)^2\)
- Produit conjugué \((a+b)(a-b)\)
Le cours récapitule les identités dans cet ordre : carré d'une somme, carré d'une différence, puis produit conjugué.
Remettre dans l'ordre les vérifications recommandées pour éviter les erreurs fréquentes.
- Identifier quelle identité remarquable peut s'appliquer
- Vérifier signes et coefficients (notamment le signe de \(2ab\))
- Développer complètement l'expression
- Vérifier le résultat final
Pour éviter les erreurs il faut identifier l'identité, contrôler signes et coefficients, développer et vérifier le résultat.