Image et antécédent : vrai ou faux et Memory

L'image d'un réel x par f est \(f(x)\).

Vrai — Par définition l'image de \(x\) par \(f\) est la valeur \(f(x)\).

Un antécédent de y est un x tel que \(f(x)=y\).

Vrai — Un antécédent de \(y\) est toute valeur \(x\in D\) vérifiant \(f(x)=y\).

Une valeur peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Vrai — Selon la fonction une valeur peut n'avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.

La même valeur peut avoir au plus un antécédent.

Faux — C'est faux : une valeur peut avoir plusieurs antécédents (ex : \(x\mapsto x^2\)).

Pour \(f(x)=2x+1\), \(f(3)=7\).

Vrai — Remplacer \(x\) par \(3\) donne \(f(3)=2\times3+1=7\).

Pour \(f(x)=2x+1\), l'antécédent de 5 est 3.

Faux — Résoudre \(2x+1=5\) donne \(x=2\), donc l'antécédent de 5 est 2, pas 3.

Pour \(g(x)=x^2\), 3 et -3 sont antécédents de 9.

Vrai — En résolvant \(x^2=9\) on obtient \(x=\pm3\), donc 3 et -3 sont antécédents.

Pour \(g(x)=x^2\), l'équation \(x^2=-1\) a un antécédent réel.

Faux — Sur \(\mathbb{R}\) l'équation \(x^2=-1\) n'a pas de solution réelle, donc aucun antécédent réel.

Résoudre \(f(x)=y\) permet de trouver des antécédents.

Vrai — Trouver les antécédents de \(y\) consiste précisément à résoudre \(f(x)=y\).

\(f(y)\) désigne l'antécédent de y.

Faux — \(f(y)\) est l'image de \(y\), pas son antécédent ; l'antécédent vérifie \(f(x)=y\).

Si \(f(2)=5\) alors 2 est un antécédent de 5.

Vrai — Si \(f(2)=5\) alors par définition 2 est un antécédent de 5.

Si \(f(2)=5\) alors 5 est un antécédent de 2.

Faux — Ceci inverse image et antécédent : 5 est l'image de 2, pas son antécédent.

Une valeur y n'a jamais d'antécédent.

Faux — Ceci est faux : certaines valeurs ont des antécédents, d'autres pas, selon la fonction.

L'image de 3 est le nombre x tel que \(f(x)=3\).

Faux — Erreur fréquente : l'image de 3 est \(f(3)\); l'expression donnée décrit un antécédent éventuel de 3.

Notation fréquente : \(f: D \to \mathbb{R},\; x \mapsto f(x)\).

Vrai — C'est la notation usuelle indiquant l'ensemble de définition et l'image de \(x\).

Pour \(g(x)=x^2\), un nombre positif non nul a toujours un seul antécédent.

Faux — Faux : un nombre positif non nul a généralement deux antécédents \(\pm\sqrt{y}\) pour la fonction carrée.

Trouver une image consiste à remplacer x dans l'expression.

Vrai — Pour obtenir l'image de \(x\) on remplace simplement \(x\) par la valeur donnée dans la formule.

La notion d'antécédent revient à calculer \(f(y)\).

Faux — C'est une confusion : calculer \(f(y)\) donne une image, pas les antécédents de \(y\).

Si \(f(x)=5\) alors on peut conclure que \(x=2\).

Faux — Impossible de conclure sans information supplémentaire : l'équation peut avoir plusieurs solutions ou aucune.

Si f est surjective, chaque y de l'ensemble d'arrivée a un antécédent.

Faux — Formulation piège : la notion de surjectivité implique effectivement que chaque y dans l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, mais le cours signale cette propriété comme une condition, pas une vérité générale pour toute fonction.