Lien avec suites géométriques : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
1ère › Mathematiques › Fonction exponentielle. Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 20 affirmations corrigées
La fonction exponentielle est \(f(x)=a\times r^{x}\) avec \(a>0\) et \(r>0, r\neq 1\).
Vrai — C'est la définition donnée dans le cours.
Une suite géométrique vérifie \(u_{n+1}=u_n\times q\).
Vrai — Par définition une suite géométrique multiplie chaque terme par la raison \(q\).
La formule générale d'une suite géométrique s'écrit \(u_n=u_0\times q^n\).
Vrai — Le cours donne explicitement \(u_n=u_0\times q^n\) comme formule générale.
On peut écrire \(q^n=e^{n\ln q}\) lorsque \(q>0\).
Vrai — La relation utilise le logarithme naturel, donc elle exige \(q>0\).
Ainsi \(u_n=u_0\times e^{n\ln q}\) exprime la suite en forme exponentielle.
Vrai — En remplaçant \(q^n\) par \(e^{n\ln q}\) on obtient cette écriture.
La fonction exponentielle généralise la croissance géométrique pour une variable continue.
Vrai — Le cours indique que la fonction exponentielle prolonge la croissance géométrique à \(x\) réel.
Dans l'exemple donné avec \(u_0=2\) et \(q=3\), on a \(u_2=18\).
Vrai — Calcul direct : \(u_2=2\times3^2=2\times9=18\).
L'étape clé pour relier suite et fonction est d'écrire \(q^n\) comme \(e^{n\ln q}\).
Vrai — Le cours insiste que cette écriture permet la conversion en exponentielle.
La conversion \(q^n=e^{n\ln q}\) fait appel à la fonction logarithme \(\ln\).
Vrai — La relation explicite contient \(\ln q\), donc le logarithme intervient.
Si \(r>1\) alors \(f(x)=a\times r^x\) croît quand \(x\) augmente.
Vrai — Pour \(r>1\) la puissance \(r^x\) augmente avec \(x\), d'où la croissance.
La fonction exponentielle peut avoir \(a=0\).
Faux — Le cours impose \(a>0\), donc \(a=0\) n'est pas autorisé.
La formule \(f(x)=a\times r^x\) admet \(r=1\) selon le cours.
Faux — Le cours précise \(r\neq 1\), donc \(r=1\) n'est pas admis.
On peut appliquer \(q^n=e^{n\ln q}\) même si \(q\) est négatif.
Faux — La formule utilise \(\ln q\) qui n'est pas défini pour \(q\leq0\).
La conversion en exponentielle transforme la croissance géométrique en croissance linéaire.
Faux — La conversion réécrit l'exponentielle mais ne rend pas la croissance linéaire.
Convertir \(q^n\) en \(e^{n\ln q}\) change la valeur de \(u_n\).
Faux — C'est une identité mathématique qui ne change pas la valeur de \(u_n\).
La formule \(u_n=u_0\times e^{n\ln q}\) n'admet pas \(n\) réel selon le cours.
Faux — Au contraire, le cours explique que cette écriture permet d'étendre \(n\) aux réels.
Pour l'exemple donné, \(u_1=3\).
Faux — Avec \(u_0=2\) et \(q=3\), on a \(u_1=2\times3=6\), pas 3.
La raison \(q\) peut changer d'un terme au suivant dans une suite géométrique.
Faux — Par définition la raison \(q\) est constante dans une suite géométrique.
Si \(r<0\) on reste dans les fonctions exponentielles du cours.
Faux — Le cours impose \(r>0\), donc \(r<0\) n'est pas dans ce cadre.
Écrire \(q^n\) comme \(e^{n\ln q}\) supprime le facteur initial \(u_0\).
Faux — La conversion ne touche pas à \(u_0\), il reste un facteur multiplicatif.
Les 10 notions à retenir
- Fonction exponentielle
- \(f(x)=a\times r^{x}\) avec \(a>0, r>0, r\neq1\)
- Forme générale
- \(f(x)=a\times r^{x}\)
- Suite géométrique
- Suite vérifiant \(u_{n+1}=u_n\times q\)
- Terme général
- \(u_n=u_0\times q^{n}\)
- Raison
- Facteur constant \(q\) entre termes successifs
- Conversion exponentielle
- \(q^{n}=e^{n\ln q}\)
- Lien clé
- Écrire \(q^{n}\) comme \(e^{n\ln q}\)
- Exemple numérique
- \(u_0=2,\ q=3\) donne \(u_n=2\times3^{n}\)
- Utilité
- Permet étendre \(n\) réel et utiliser exponentielle
- Condition a
- \(a>0\) pour la fonction exponentielle
Les 15 phrases à connaître
La fonction exponentielle s'écrit \(f(x)=a\times r^x\) avec \(a>0\) et \(r>0\).
La définition donnée dans le cours est \(f(x)=a\times r^x\) avec les contraintes sur \(a\) et \(r\).
Dans une suite géométrique, on a \(u_{n+1}=u_n\times q\).
La suite géométrique est définie par le produit du terme précédent par la raison \(q\).
La raison d'une suite géométrique se note q.
Le cours utilise la lettre \(q\) pour désigner la raison d'une suite géométrique.
On peut écrire \(q^n\) sous la forme \(e^{n\ln q}\).
La formule clé du cours est \(q^n= e^{n\ln q}\), qui permet le passage à l'exponentielle.
La suite de l'exemple a pour terme initial \(u_0=2\).
L'exemple prend explicitement \(u_0=2\) comme terme initial.
La raison de l'exemple est \(q=3\).
Dans l'exemple on multiplie par 3 à chaque étape, donc la raison est \(3\).
Le deuxième terme de la suite exemple \(u_2\) vaut \(u_2=18\).
Avec \(u_0=2\) et \(q=3\) on a \(u_1=6\) puis \(u_2=6\times3=18\).
La formule générale de la suite exemple est \(u_n=2\times 3^n\).
La formule générale d'une suite géométrique est \(u_n=u_0\times q^n\), ici \(u_0=2,q=3\).
En transformant on obtient \(u_n=2\times \(e^{n\ln 3}\)\).
On remplace \(3^n\) par \(e^{n\ln 3}\) pour écrire la suite en forme exponentielle.
La condition sur \(r\) dans \(f(x)=a\times r^x\) est \(r\neq 1\).
Le cours précise que \(r>0\) et \(r\neq 1\) pour la forme considérée, d'où \(r\neq1\).
La fonction exponentielle généralise la croissance géométrique selon une variable continue.
Le texte indique que l'exponentielle généralise la croissance géométrique pour une variable continue.
La relation clé pour passer de \(q^n\) à l'exponentielle utilise la fonction \(\ln\).
On utilise le logarithme népérien \(\ln\) pour écrire \(q^n=e^{n\ln q}\).
Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par la raison.
Par définition d'une suite géométrique, on multiplie le terme précédent par la raison.
La formule générale d'une suite géométrique s'écrit \(u_n=u_0\times q^n\).
La forme standard donnée est \(u_n=u_0\times q^n\) pour une suite géométrique.
La suite peut aussi s'écrire sous la forme exponentielle \(u_n=u_0\times e^{n\ln q}\).
En remplaçant \(q^n\) par \(e^{n\ln q}\) on obtient la forme \(u_n=u_0\times e^{n\ln q}\).
Les 6 séries dans le bon ordre
Remettre dans l'ordre les étapes pour écrire la suite exemple comme fonction exponentielle (de la donnée au résultat).
- La suite est donnée par \(u_n=2\times 3^n\).
- Conversion \(3^n= e^{n\ln 3}\).
- On obtient \(u_n=2\times e^{n\ln 3}\).
On part de la formule en puissance, on transforme \(3^n\) puis on réécrit \(u_n\) en forme exponentielle.
Ordonner les actions pour obtenir la formule générale d'une suite géométrique.
- Préciser \(u_0\) et la raison \(q\).
- Écrire \(u_n=u_0\times q^n\).
- Remplacer \(q^n\) par \(e^{n\ln q}\) si on veut la forme exponentielle.
On commence par les données initiales, on écrit la formule de suite géométrique, puis on peut la convertir en exponentielle.
Classer ces expressions selon la progression logique pour obtenir \(u_n\) exponentiel.
- \(q^n\)
- \(e^{n\ln q}\)
- \(u_n=u_0\times e^{n\ln q}\)
On transforme d'abord l'expression puissance en exponentielle, puis on l'insère dans l'expression de \(u_n\).
Remettre dans l'ordre les termes calculés de l'exemple du plus petit indice au plus grand.
- \(u_0=2\)
- \(u_1=6\)
- \(u_2=18\)
Les termes sont calculés successivement en multipliant par la raison \(3\), donnant 2, puis 6, puis 18.
Énoncer dans l'ordre les conditions sur les paramètres de \(f(x)=a\times r^x\) telles que données dans le cours.
- \(a>0\)
- \(r>0\)
- \(r\neq 1\)
Le cours précise d'abord \(a>0\), puis les conditions sur \(r\) : \(r>0\) et ensuite \(r\neq1\).
Ordre logique des étapes pour passer de la définition récursive à la formule explicite d'une suite géométrique.
- Écrire \(u_{n+1}=u_n\times q\).
- Déduire par récurrence \(u_n=u_0\times q^n\).
- Remplacer \(q^n\) par \(e^{n\ln q}\) pour la forme exponentielle.
On part de la relation de récurrence, on trouve la formule explicite puis on applique la transformation exponentielle si souhaitée.