Limite et continuité : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
1ère › Mathematiques › Limites de fonction . Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 19 affirmations corrigées
La limite d'une fonction \(f(x)\) en \(a\) exprime la valeur vers laquelle \(f(x)\) tend quand \(x\) s'approche de \(a\).
Vrai — C'est la définition intuitive donnée: la limite est la valeur d'approche de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\).
On note la limite par \(\lim_{x \to a} f(x)=L\).
Vrai — Le cours donne précisément cette notation pour exprimer la limite en \(a\).
Si pour toute suite \(x_n\) tendant vers \(a\), la suite \(f(x_n)\) tend vers \(L\), alors \(\lim_{x \to a} f(x)=L\).
Vrai — Le critère par suites est cité dans le cours comme équivalent à la notion de limite.
Si en se rapprochant de \(a\) la valeur de \(f(x)\) se rapproche d'un nombre \(L\), on dit que la limite en \(a\) est \(L\).
Vrai — C'est la définition intuitive de la limite donnée dans la fiche.
La limite peut être finie ou infinie selon le comportement de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\).
Vrai — Le cours précise que si la limite existe, elle peut être finie ou infinie selon le cas.
Pour \(f(x)=2x\) en \(a=3\), on a \(\lim_{x \to 3} 2x = 6\).
Vrai — L'exemple explicite du cours montre que quand \(x\) tend vers 3, \(2x\) tend vers 6.
Une fonction est continue en \(a\) si \(f(a)\) est défini, la limite en \(a\) existe, et ces deux valeurs sont égales.
Vrai — Le cours donne exactement ces trois conditions comme définition de la continuité en \(a\).
La fonction \(\(f(x)=x^2\)\) est continue en tout point de \(\mathbb{R}\).
Vrai — Le cours affirme que \(x^2\) est continue en tout réel, et donne l'exemple en \(a=2\).
Si \(f\) est continue en \(a\), alors \(\lim_{x \to a} f(x)=f(a)\).
Vrai — Ceci découle directement de la définition de la continuité en \(a\) donnée dans la fiche.
La limite \(\lim_{x \to a} f(x)\) donne la valeur d'approche de \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\).
Vrai — Formulation résumant la notion centrale de la fiche: la limite est la valeur d'approche.
Si \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe, alors forcément \(f(a)\) est défini.
Faux — La limite dépend du comportement pour \(x\) proche de \(a\) et peut exister même si \(f(a)\) n'est pas défini.
Si \(f(a)\) est défini et vaut \(L\), alors automatiquement \(\lim_{x \to a} f(x)=L\).
Faux — La valeur au point n'impose pas la limite; la limite peut être différente ou ne pas exister.
La valeur de \(f(a)\) influe toujours sur \(\lim_{x \to a} f(x)\).
Faux — La limite est déterminée par les valeurs proches de \(a\), pas nécessairement par \(f(a)\).
Si \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe selon des suites, elle peut donner deux valeurs différentes selon la suite choisie.
Faux — Le critère par suites implique une seule valeur limite commune pour toutes les suites tendant vers \(a\).
La continuité en un point exige que la limite soit infinie.
Faux — La continuité réclame l'égalité limite et \(f(a)\), pas une limite infinie; une limite infinie n'est pas finie.
Pour \(f(x)=2x\) en \(a=3\), la limite vaut \(3\).
Faux — L'exemple du cours montre que la limite vaut \(6\) et non \(3\) pour \(f(x)=2x\) en \(3\).
La fonction \(f(x)=x^2\) n'est pas continue en \(2\) car \(f(2)=4\) et la limite vaut \(2\).
Faux — Le cours donne l'exemple contraire: \(\lim_{x \to 2} x^2=4= f(2)\), donc elle est continue en 2.
Si \(\lim_{x \to a} f(x)\) n'existe, alors \(f(a)\) existe.
Faux — L'existence ou non de la limite n'impose pas l'existence de \(f(a)\); ces faits sont indépendants.
Une fonction est continue en \(a\) si au moins deux des trois conditions de continuité sont remplies.
Faux — Le cours exige les trois conditions simultanément: \(f(a)\) défini, limite existante, et égalité entre les deux.
Les 10 notions à retenir
- Limite en a
- Valeur vers laquelle \(f(x)\) tend quand \(x\) approche \(a\)
- Notation limite
- La notation est \(\lim_{x \to a} f(x)=L\)
- Critère par suites
- Pour toute suite \(x_n\to a\), on a \(f(x_n)\to L\)
- Limite finie/infinie
- La limite existe et peut être finie ou infinie
- Fonction continue en a
- \(f(a)\) défini, limite existe, et limite = \(f(a)\)
- Conditions de continuité
- Trois conditions: définition, existence et égalité
- \(f(x)=2x\)
- Exemple: \(\lim_{x \to 3}2x=6\)
- \(f(x)=x^2\)
- Exemple: continue en tout point de \(\mathbb{R}\)
- Continuité sur \(\mathbb{R}\)
- Fonction continue en chaque point réel
- Valeur d'approche
- Synonyme intuitif de la limite
Les 12 phrases à connaître
La limite d'une fonction \(f(x)\) en un point \(a\) exprime la valeur à laquelle laquelle la fonction tend lorsque \(x\) s'approche de \(a\).
La phrase précise la relation de proximité : on parle de la valeur à laquelle f(x) tend quand x se rapproche de a.
On note : \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)
La notation standard pour la limite d'une fonction en a est \(\lim_{x \to a} f(x) = L\).
Selon la définition par suites, si \(x_n\) tend vers \(a\), alors la suite \(f(x_n)\) tend vers \(L\).
La définition par suites dit que les images \(f(x_n)\) doivent tendre vers L pour toute suite \(x_n\to a\).
Si une limite existe et vaut un nombre, on dit qu'elle est finie.
Quand la limite est un nombre réel, on la qualifie de limite finie.
Si la limite n'est pas un nombre mais tend vers \(+\infty\), on dit qu'elle est infinie.
Une limite qui diverge vers l'infini est appelée limite infinie.
Pour la fonction \(f(x)=2x\) et \(a=3\), on a \(\lim_{x \to 3} 2x = 6\).
En remplaçant x par 3 dans 2x on obtient 6, donc la limite vaut 6.
Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(f(a)\) est défini, la limite existe, et la limite égale \(f(a)\).
La première condition pour la continuité en a est que la valeur f(a) soit bien définie.
En résumé, la continuité en \(a\) signifie que la courbe ne présente pas de saut ou d'interruption à ce point.
La continuité signifie l'absence de saut (discontinuité) ou d'interruption locale de la courbe.
La fonction \(f(x)=x^2\) est continue en tout point de \(\mathbb{R}\).
Le polynôme \(x^2\) est défini et continu pour tout réel, donc sur \(\mathbb{R}\).
La limite \(\lim_{x \to a} f(x)\) donne la valeur d'approche de \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\).
La limite décrit le comportement de f(x) lorsque x tend vers a.
La fonction est continue en \(a\) si \(f(a)\) existe, la limite existe, et ces deux valeurs sont égales.
La continuité exige que la valeur de la fonction en a coïncide avec la limite quand x tend vers a.
La limite en ce point est dite finie ou infinie selon le cas.
On distingue limite finie (nombre réel) et limite infinie (divergence vers l'infini).
Les 6 séries dans le bon ordre
Remettre dans l'ordre les étapes pour vérifier la continuité de \(f\) en un point \(a\) (du début à la fin).
- \(f(a)\) est défini
- \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe
- \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
La continuité en a nécessite d'abord que f(a) existe, ensuite que la limite existe, puis que les deux valeurs soient égales.
Remettre dans l'ordre les étapes pour calculer \(\lim_{x \to 3} 2x\).
- Remplacer \(x\) par 3 dans \(2x\)
- Calculer \(2\times 3 = 6\)
- Conclure que \(\lim_{x \to 3} 2x = 6\)
Pour une fonction linéaire, on évalue simplement la valeur en a puis on conclut sur la limite.
Remettre dans l'ordre les éléments de la définition par suites d'une limite \(\lim_{x \to a} f(x)=L\).
- Prendre une suite \(x_n\) telle que \(x_n \to a\)
- Considérer la suite \(f(x_n)\)
- Vérifier que \(f(x_n) \to L\)
La définition par suites exige que pour toute suite x_n tendant vers a, les images f(x_n) tendent vers L.
Remettre dans l'ordre les étapes pour vérifier la continuité de \(f(x)=x^2\) en \(a=2\).
- Calculer \(f(2)=2^2=4\)
- Calculer \(\lim_{x \to 2} x^2\)
- Comparer et conclure que la limite vaut 4 donc la fonction est continue en 2
On calcule d'abord la valeur f(2), puis la limite, et on conclut si elles coïncident.
Remettre dans l'ordre les phrases qui résument la notion de limite (du général au précis).
- La limite \(\lim_{x \to a} f(x)\) donne la valeur d'approche de \(f(x)\)
- On note cette limite \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)
- Cela signifie que pour toute suite \(x_n\to a\), on a \(f(x_n)\to L\)
On part de l'idée intuitive, on note la limite, puis on donne la formulation par suites.
Remettre dans l'ordre les vérifications à faire pour décider si une limite est dite finie ou infinie.
- Déterminer si la limite existe
- Si elle existe, vérifier si elle est un nombre réel
- Si c'est un nombre on dit finie, sinon on dit infinie
On vérifie d'abord l'existence, puis la nature (nombre réel ou divergence) pour qualifier la limite.