majorant/minorant : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 19 affirmations corrigées
Si \(a \leq b\) et \(b \leq c\), alors \(a \leq c\).
Vrai — La relation \(\leq\) est transitive.
La valeur de \(\sqrt{9}\) est 4.
Faux — Parce que \(\sqrt{9} = 3\).
Pour tout \(x \geq 0\), \(\sqrt{x^2} = x\).
Faux — Car \(\sqrt{x^2} = |x|\), donc égal à \(x\) seulement si \(x \geq 0\).
L'ensemble des nombres rationnels est dense dans \(\mathbb{R}\).
Vrai — Entre deux réels, on peut toujours trouver un rationnel.
Le minimum de la fonction \(f(x) = x^2 + 2x + 1\) est \(-1\).
Faux — Le minimum est atteint en \(x = -1\), avec \(f(-1) = 0\).
Si \(a < b\), alors \(a^2 < b^2\).
Faux — Ce n'est pas vrai si \(a\) et \(b\) sont négatifs; par exemple \(a=-3\), \(b=-2\).
La somme de deux entiers est toujours un entier.
Vrai — Les entiers sont fermés pour l'addition.
Le nombre \(\pi\) est un nombre rationnel.
Faux — \(\pi\) est irrationnel.
La fonction \(f(x) = 2x + 3\) est une fonction affine.
Vrai — Car elle est de la forme \(ax + b\).
Pour tout \(x\), \(\log_{10}(10^x) = x\).
Vrai — C'est la définition du logarithme en base 10.
Le nombre \(e\) est une constante transcendante.
Vrai — \(e\) est une constante transcendante, non algébrique.
L'ensemble des nombres entiers est limité.
Faux — Les entiers ne sont pas bornés, ils sont infinis.
Le nombre \(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel.
Vrai — \(\sqrt{2}\) ne peut s'écrire comme une fraction.
La moyenne arithmétique de \(4\) et \(16\) est \(10\).
Faux — Elle est \( (4 + 16)/2 = 10\), ce qui est vrai, donc cette affirmation est vraie.
La valeur de \(\log_{2}(8)\) est 3.
Vrai — \(2^3=8\).
La fonction exponentielle \(e^x\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Vrai — La dérivée \(e^x\) est positive, donc croissante.
Si \(a > 0\), alors \(\sqrt{a} > 0\).
Vrai — La racine carrée d'un nombre positif est positive.
Le nombre \(0\) n'est ni positif ni négatif.
Vrai — \(0\) est considéré comme nul.
Pour tout réel \(x\), \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
Vrai — C'est une identité trigonométrique fondamentale.
Les 10 notions à retenir
- Majorant
- Graphe une borne supérieure d'un ensemble de nombres.
- Minorant
- Graphe une borne inférieure d'un ensemble de nombres.
- Majorant strict
- Plus grand que tous les éléments de l'ensemble.
- Minorant strict
- Plus petit que tous les éléments de l'ensemble.
- Majorant réel
- Un nombre réel supérieur à tous les éléments.
- Minorant réel
- Un nombre réel inférieur à tous les éléments.
- Inégalité
- Relationship entre deux quantités, comme \(\geq\) ou \(\leq\).
- Plus grand que
- Relation \(>\) entre deux nombres.
- Plus petit que
- Relation \(<\) entre deux nombres.
- Majorant borné
- Ensemble avec un borne supérieure finie.
Les 15 phrases à connaître
Un majorant est un nombre qui est toujours supérieur ou égal à la quantité.
Par définition un majorant est supérieur ou égal à la quantité qu'il borne.
Un minorant est toujours inférieur ou égal à la quantité.
Par définition un minorant est inférieur ou égal à la quantité qu'il borne.
Si on encadre la fonction \(f(x)\) entre \(\alpha\) et \(\beta\), alors \(\beta\) est un majorant.
Dans un encadrement \(\beta\) est la borne supérieure, donc le majorant.
Dans le même encadrement, \(\alpha\) est un minorant.
Dans un encadrement \(\alpha\) est la borne inférieure, donc le minorant.
Pour le nombre \(\(3,14\)\), le cours propose comme minorant \(3,1\).
Le cours encadre \(3,14\) entre \(3,1\) et \(3,2\), donc \(3,1\) est un minorant.
Pour le nombre \(\(3,14\)\), le cours propose comme majorant \(3,2\).
Le majorant choisi dans l'exemple est \(3,2\), supérieur ou égal à \(3,14\).
Sur l'intervalle \([1,3]\), \(\)f(x)=x^2\(\) a pour minorant \(1\).
Sur \([1,3]\) la fonction atteint son minimum en \(x=1\), donc le minorant est \(1\).
Sur le même intervalle, le majorant de \(\)f(x)=x^2\(\) est \(9\).
Sur \([1,3]\) le maximum est \(f(3)=9\), donc le majorant choisi est \(9\).
Le majorant n'a pas forcément été atteint.
Un majorant est une borne supérieure qui peut ne pas être atteinte par la quantité considérée.
Le minorant n'a pas forcément été atteint.
Un minorant est une borne inférieure qui peut ne pas être atteinte par la quantité considérée.
Connaître des bornes permet d'estimer des valeurs.
Les bornes servent à encadrer et estimer des valeurs numériques ou images d'une fonction.
Un majorant doit être supérieur ou égal à la quantité pour tout \(x\), pas seulement dans certains cas.
La définition exige l'inégalité pour tout \(x\) de l'ensemble ou de l'intervalle considéré.
Encadrer une valeur signifie donner une borne inférieure et une borne supérieure.
Encadrer consiste à fournir une borne inférieure (minorant) et une borne supérieure (majorant).
Dans l'exemple, \(\)f(x)=x^2\(\) est croissante sur \([1,3]\).
Sur \([1,3]\) la fonction \(x^2\) augmente, donc elle est croissante.
Le minimum de \(\)f(x)=x^2\(\) sur \([1,3]\) est atteint en \(x=1\).
Comme la fonction est croissante sur \([1,3]\), le minimum est en \(x=1\) d'où \(f(1)=1\).
Les 6 séries dans le bon ordre
Ordonner les étapes pour encadrer une fonction sur un intervalle.
- Choisir l'intervalle de définition
- Étudier la monotonicité sur cet intervalle
- Calculer les valeurs aux bornes de l'intervalle
- Identifier le minimum et le maximum
- Conclure les minorant et majorant
- Écrire l'encadrement
On commence par fixer l'intervalle, puis on étudie la variation pour trouver où sont le minimum et le maximum et enfin on écrit l'encadrement.
Ordonner les actions pour encadrer le nombre \(3,14\) par des décimaux simples.
- Choisir un nombre inférieur simple
- Choisir un nombre supérieur simple
- Vérifier que l'inégalité est vraie
- Énoncer l'encadrement
On choisit d'abord des bornes inférieure et supérieure plausibles, on vérifie les inégalités puis on écrit l'encadrement.
Ordonner les étapes pour prouver qu'un nombre \(a\) est majorant d'un ensemble.
- Prendre un élément arbitraire de l'ensemble
- Montrer que \(a\) est supérieur ou égal à cet élément
- Conclure que \(a\) est majorant pour tous les éléments
La preuve se fait pour un élément arbitraire afin de conclure que l'inégalité tient pour tous les éléments.
Ordonner ces valeurs de \(f(x)=x^2\) sur \([1,3]\) du plus petit au plus grand.
- 1
- 4
- 9
Les images en \(x=1,2,3\) sont respectivement \(1,4,9\), ordonnées du plus petit au plus grand.
Ordonner les vérifications à faire pour ne pas confondre majorant et maximum.
- Vérifier la définition du majorant (borne supérieure)
- Vérifier si la valeur est effectivement atteinte
- Ne pas confondre borne avec l'existence d'un extremum
Il faut d'abord rappeler la définition, puis vérifier si la borne est atteinte pour distinguer borne et extremum.
Ordonner les étapes pour encadrer un nombre en donnant explicitement minorant puis majorant.
- Trouver un minorant inférieur ou égal au nombre
- Trouver un majorant supérieur ou égal au nombre
- Écrire l'encadrement avec le minorant puis le majorant
On identifie d'abord la borne inférieure puis la borne supérieure, puis on présente l'encadrement dans cet ordre.