Manipulation des nombres négatifs et racines carrées : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 20 affirmations corrigées
Un nombre négatif est inférieur à zéro.
Vrai — Par définition un nombre négatif est strictement plus petit que zéro.
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Vrai — La règle des signes donne \((-a)\times(-b)=a\times b\), positif si \(a,b>0\).
Le produit d'un négatif par un positif est négatif.
Vrai — La règle des signes donne \((-a)\times b=-(a\times b)\), donc négatif si \(a,b>0\).
(-4)\times 3 = -12
Vrai — On applique \((-4)\times 3=-(4\times3)=-12\).
5 + (-3) = 5 + 3
Faux — Ajouter un négatif revient à soustraire : \(5+(-3)=5-3=2\), pas \(5+3\).
Pour additionner un nombre négatif, on revient à faire une soustraction.
Vrai — Par exemple \(5+(-3)=5-3\), on transforme l'addition en soustraction.
(-6) + 4 = 2
Faux — En réalité \(-6+4=-(6-4)=-2\), l'élève confond le signe final.
\(\sqrt{16} = 4\)
Vrai — La racine principale de 16 est 4 car \(4^2=16\) et la racine carrée est positive.
\(\sqrt{25} = -5\)
Faux — Par définition \(\sqrt{25}\) désigne la racine positive, donc \(\sqrt{25}=5\), pas \(-5\).
La racine carrée d'un nombre positif est toujours positive.
Vrai — La racine notée \(\sqrt{a}\) est la racine principale, donc positive si \(a>0\).
Il est correct de donner \(\pm\) pour \(\sqrt{a}\) par défaut.
Faux — Donner \(\pm\) correspond à chercher deux racines, mais \(\sqrt{a}\) est la racine positive seule.
\(\sqrt{36} = 6\)
Vrai — La racine principale de 36 est 6 puisque \(6^2=36\).
\(\sqrt{a^2} = a\) est toujours vrai.
Faux — Ce n'est pas toujours vrai si \(a\) est négatif : \(\sqrt{a^2}\) désigne la racine positive.
La méthode consiste à chercher un nombre dont le carré donne le nombre sous la racine.
Vrai — On teste des nombres \(x\) tels que \(x^2\) égale le nombre sous la racine.
La racine carrée d'un nombre négatif est un nombre réel.
Faux — Le cours traite la racine carrée pour les nombres positifs, une racine d'un négatif n'est pas un réel ici.
Pour vérifier une racine on élève le résultat au carré.
Vrai — Si on trouve \(x\) pour \(\sqrt{a}\), on vérifie que \(x^2=a\).
Confondre racine et carré est correct.
Faux — C'est une erreur fréquente : le carré et la racine sont des opérations inverses mais pas identiques.
\(\sqrt{49} = 7\)
Vrai — La racine principale de 49 est 7 car \(7^2=49\).
On peut remplacer \(\sqrt{36}\) par 36.
Faux — La racine de 36 vaut 6, on ne la remplace pas par 36 (confusion entre racine et nombre sous la racine).
(-a)\times(-b) = - (a \times b)
Faux — C'est une erreur de signe : le produit de deux négatifs est positif, donc \((-a)(-b)=a\times b\).
Les 10 notions à retenir
- Nombre négatif
- Nombre inférieur à zéro
- Racine carrée
- Nombre \(x\) tel que \(x^2 = a\)
- Racine principale
- La racine carrée choisie positive
- Produit deux négatifs
- Donne un nombre positif
- Négatif × positif
- Donne un nombre négatif
- Vérifier une racine
- Élever le résultat au carré
- Erreur ±
- Donner \(\pm\) pour \(\sqrt{a}\) est faux
- \(\sqrt{36}\)
- Égale \(6\)
- Confusion fréquente
- Confondre racine et carré
- Méthode racine
- Chercher \(x\) tel que \(x^2\) égale le nombre
Les 15 phrases à connaître
Un nombre négatif est un nombre inférieur à zéro.
Par définition un nombre négatif est inférieur à zéro.
La racine carrée d'un nombre \(a\) est le nombre \(x\) tel que \(x^2 = a\).
La racine est le nombre dont le carré donne \(a\), d'où \(x^2=a\).
Le produit de deux nombres négatifs donne un positif.
La règle de signes dit que \((-a)\times(-b)=a\times b\), positif.
Le produit de \(-a\) par \(b\) est \(- (a \times b)\) selon le cours.
Si un seul facteur est négatif, le produit est négatif: \((-a)\times b=-(a\times b)\).
Pour additionner un nombre négatif, on revient à faire une soustraction.
Le cours montre que \(5+(-3)=5-3\), donc on effectue une soustraction.
Exemple : \((-4) \times 3 = -12\).
On calcule \((-4)\times3=-(4\times3)=-12\) selon la règle des signes.
Mini-quiz : \((-6) + 4\) vaut -2.
On fait \(-6+4=-(6-4)=-2\) comme expliqué dans l'exemple.
La racine carrée de \(16\) est 4.
La racine principale de 16 est 4 car \(4^2=16\) et on prend la racine positive.
On vérifie une racine en élevant le nombre candidat au carré.
Pour vérifier \(x\) on calcule \(x^2\) et on compare au nombre sous la racine.
Par défaut, \(\sqrt{a}\) désigne la racine positive.
Le cours précise que \(\sqrt{a}\) est la racine positive sauf précision contraire.
Il n'est pas correct de dire que \(\sqrt{25} = -5\).
La racine carrée principale de 25 est 5, donc écrire \(-5\) est incorrect sans précision.
Pour calculer \(\sqrt{49}\) on teste \(x = 7\).
On teste \(x=7\) car \(7^2=49\), donc \(\sqrt{49}=7\).
Erreur fréquente : confondre racine carrée et carré d'un nombre.
Confondre \(\sqrt{a}\) et \(a^2\) est une erreur courante signalée dans le cours.
On doit éviter d'ajouter le signe ± lors de l'écriture de \(\sqrt{a}\).
Écrire \(\pm\) pour \(\sqrt{a}\) sans précision est une erreur fréquente selon le cours.
La racine carrée d'un nombre positif correspond à la racine principale.
Le cours insiste que \(\sqrt{a}\) est la racine principale (positive) du nombre.
Les 6 séries dans le bon ordre
Ranger les étapes pour calculer \(\sqrt{49}\) avec la méthode du cours.
- Chercher un nombre \(x\) tel que \(x^2=49\).
- Tester \(x=7\).
- Vérifier que \(7^2=49\) et conclure \(\sqrt{49}=7\).
On cherche un candidat, on le teste en élevant au carré, puis on conclut si égalité.
Ranger les étapes pour calculer \(5 + (-3)\) selon la méthode du cours.
- Écrire l'addition \(5 + (-3)\).
- Remplacer par la soustraction \(5 - 3\).
- Effectuer \(5 - 3 = 2\).
Additionner un négatif revient à effectuer la soustraction de sa valeur absolue.
Ranger les étapes pour appliquer les règles de signes à un produit.
- Identifier les signes des deux facteurs.
- Si les deux sont négatifs, appliquer \((-a) \times (-b) = a \times b\).
- Sinon si un seul est négatif, appliquer \((-a) \times b = - (a \times b)\).
On commence par regarder les signes puis on applique la règle adaptée.
Ranger les étapes pour vérifier qu'un candidat est une racine carrée de \(a\).
- Choisir un candidat \(x\).
- Calculer \(x^2\).
- Comparer \(x^2\) avec \(a\) et conclure si égal.
Vérifier une racine consiste à élever le candidat au carré puis comparer au nombre donné.
Ranger les étapes conseillées pour éviter l'erreur de signe avec les racines.
- Se rappeler que \(\sqrt{a}\) est par défaut positive.
- Ne pas écrire \(\pm\) sans précision.
- Préciser si l'on cherche la racine négative aussi si nécessaire.
Il faut garder à l'esprit la racine principale, éviter \(\pm\) et préciser le cas négatif.
Ranger les étapes du calcul de l'exemple \((-4) \times 3\).
- Calculer \(4 \times 3 = 12\).
- Appliquer le signe négatif provenant de \(-4\).
- Écrire le résultat \(-12\).
On calcule d'abord le produit des valeurs absolues, puis on applique le signe final.