Nombres irrationnels : exemples et propriétés : vrai ou faux et Memory
2nde › Mathematiques › Les nombres rationnel et irrationnelle . Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 20 affirmations corrigées
Un nombre réel x est irrationnel s'il ne peut pas s'écrire sous la forme \(p/q\).
Vrai — Par définition un irrationnel n'admet pas d'écriture \(p/q\) avec \(p,q\in\mathbb{Z}\) et \(q\neq 0\).
\(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Vrai — La preuve par contradiction montre que supposer \(\sqrt{2}=a/b\) conduit à une contradiction sur la parité de \(a\) et \(b\).
\(\pi\) est irrationnel.
Vrai — Il est établi mathématiquement que \(\pi\) ne s'exprime pas comme un quotient d'entiers.
\(e\) est irrationnel.
Vrai — La constante \(e\) n'a pas d'écriture sous forme \(p/q\) et est donc irrationnelle.
La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle.
Vrai — Si \(r\) rationnel et \(x\) irrationnel, sinon \(x=(r+x)-r\) serait rationnel, contradiction.
Un irrationnel a une écriture décimale infinie et non périodique.
Vrai — Les irrationnels ne donnent pas de décimales finies ni périodiques, leur écriture décimale est non périodique.
La diagonale d'un carré de côté 1 vaut \(\sqrt{2}\).
Vrai — Par le théorème de Pythagore la diagonale mesure \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\).
Dans la preuve de \(\sqrt{2}\) on suppose \(\sqrt{2}=a/b\) avec \(a,b\) premiers entre eux.
Vrai — On choisit l'écriture irréductible \(a/b\) pour obtenir la contradiction sur la parité de \(a\) et \(b\).
Si \(a^2\) est pair alors \(a\) est pair.
Vrai — Si \(a\) était impair, \(a^2\) serait impair, donc \(a^2\) pair implique \(a\) pair.
Un nombre rationnel possède une écriture décimale finie ou périodique.
Vrai — C'est une propriété caractéristique des rationnels en base décimale.
Tout nombre non entier est irrationnel.
Faux — De nombreux non entiers sont rationnels (par exemple \(1/2\) a une écriture décimale finie).
Un décimal périodique est toujours irrationnel.
Faux — Au contraire, les décimaux périodiques représentent exactement des rationnels.
La somme de deux irrationnels est toujours irrationnelle.
Faux — Contre‑exemple : \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) qui est rationnel.
Le produit de deux irrationnels est toujours irrationnel.
Faux — Contre‑exemple : \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) qui est rationnel.
\(\pi\) est un quotient d'entiers.
Faux — Dire que \(\pi\) est un quotient contredirait son irrationalité connue.
Un nombre positif non entier est nécessairement rationnel.
Faux — Beaucoup de nombres positifs non entiers sont irrationnels, comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\).
La preuve de \(\sqrt{2}\) montre que \(a\) et \(b\) sont tous deux impairs.
Faux — La preuve montre au contraire que si \(a\) est pair alors \(b\) est aussi pair, d'où contradiction.
Un décimal non périodique peut être rationnel.
Faux — Les rationnels ont une écriture décimale finie ou périodique, donc non périodique implique irrationnel.
La diagonale d'un carré de côté 1 est un nombre rationnel.
Faux — La diagonale vaut \(\sqrt{2}\), et \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Le produit d'un irrationnel non nul par un rationnel non nul peut être rationnel.
Faux — Si \(r\) est rationnel non nul et \(x\) irrationnel, alors \(rx\) rationnel impliquerait \(x\) rationnel, impossible.
Les 10 notions à retenir
- Irrationnel
- Ne s'écrit pas comme \(p/q\) avec entiers
- Rationnel
- S'écrit comme \(p/q\), décimal fini ou périodique
- Décimal périodique
- Écriture décimale qui répète un motif
- Décimal non périodique
- Écriture décimale infinie sans période
- Exemple \(\sqrt{2}\)
- Irrationnel, diagonale d'un carré de côté 1
- Preuve par contradiction
- Technique utilisée pour montrer \(\sqrt{2}\) irrationnel
- Diagonale du carré
- Longueur égale à \(\sqrt{2}\) pour côté 1
- Somme rationnel+irrationnel
- Donne toujours un nombre irrationnel
- Produit d'irrationnels
- Peut être rationnel ou irrationnel selon les cas
- Nombres célèbres
- Exemples irrationnels : \(\pi\) et \(e\)