Nombres premiers et décomposition : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
3ème › Mathematiques › Divisibilité et nombres premiers. Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 20 affirmations corrigées
b est un diviseur de a s'il existe un entier k tel que a = b \cdot k.
Vrai — C'est la définition de la divisibilité donnée dans le cours.
La notation \(b \mid a\) signifie que b divise a.
Vrai — Le cours précise exactement cette notation compacte pour la divisibilité.
1 est un nombre premier.
Faux — Le cours rappelle qu'un nombre premier est strictement supérieur à 1.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts.
Vrai — Par définition un premier n'a que 1 et lui-même comme diviseurs.
Un nombre premier a exactement trois diviseurs.
Faux — Ceci contredit la définition qui exige exactement deux diviseurs distincts.
On cherche les facteurs premiers en testant 2, 3, 5, ... successivement.
Vrai — Le cours donne cette astuce de divisions successives par nombres premiers croissants.
60 = 2^3 \times 3 \times 5.
Faux — L'exposant sur 2 est incorrect : la décomposition correcte est donnée ailleurs dans le cours.
60 = 2^2 \times 3 \times 5.
Vrai — Le cours montre cet exemple de décomposition en facteurs premiers.
360 = 2^3 \times 3^2 \times 5.
Vrai — C'est la réponse finale de l'exemple détaillé de décomposition de 360.
La décomposition en facteurs premiers n'est pas unique.
Faux — Le cours rappelle l'unicité de l'écriture en produit de puissances de nombres premiers.
Il faut parfois diviser par 4 pour trouver des facteurs premiers.
Faux — Le cours indique qu'on divise par des nombres premiers, donc pas par 4 qui n'est pas premier.
Un entier pair est toujours composé de deux nombres premiers.
Faux — Ceci est une généralisation fausse et n'apparaît pas dans le cours.
Tout entier n > 1 s'écrit comme produit de puissances de nombres premiers.
Vrai — Le cours énonce précisément cette propriété et sa forme \(n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}\).
Un nombre avec peu de diviseurs est forcément premier.
Faux — Le cours signale que confondre 'peu de diviseurs' et 'premier' est une erreur fréquente.
3 est un diviseur de 45 car \(45 = 3 \times 15\).
Vrai — C'est un exemple direct de la définition de diviseur donné dans le cours.
Si \(b \mid a\) alors \(a \mid b\).
Faux — La divisibilité n'est pas symétrique ; le cours ne dit pas que c'est réciproque.
2 est le seul nombre premier pair.
Vrai — Par définition et par observation élémentaire, tous les autres pairs sont multiples de 2.
On peut oublier de tester 2 et commencer par 3 pour gagner du temps.
Faux — Le cours conseille de tester 2 en premier ; sauter 2 fait souvent rater des facteurs.
La notation \(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\) autorise des p_i non premiers.
Faux — Le cours précise que les \(p_i\) doivent être des nombres premiers.
On continue de diviser par le même premier tant que le quotient est divisible par ce premier.
Vrai — Le cours décrit précisément cette procédure pour regrouper les puissances d'un même premier.
Les 10 notions à retenir
- Divisibilité
- Existence d'un entier k tel que \(a = b \cdot k\).
- Diviseur
- Entier b tel que b divise a.
- Notation b|a
- S'écrit \(b \mid a\) et signifie b divise a.
- Nombre premier
- Entier >1 n'ayant que 1 et lui-même comme diviseurs.
- Décomposition
- Écriture d'un entier comme produit de facteurs premiers.
- Facteurs premiers
- Nombres premiers utilisés dans la décomposition d'un entier.
- Décomposition de 60
- \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\).
- Astuce
- Diviser par 2, puis 3, puis 5, etc.
- Unicité
- La décomposition en facteurs premiers est unique (ordre exclu).
- Méthode
- Divisions successives par nombres premiers croissants.
Les 13 phrases à connaître
Pour partager équitablement des bonbons, on vérifie la divisibilité entre le nombre de bonbons et le nombre d'amis.
La notion clé est la divisibilité : on veut qu'il n'y ait pas de reste lors du partage.
On dit que \(b\) est un diviseur de \(a\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(a = b \cdot k\).
Par définition, si \(a=b\cdot k\) avec \(k\) entier, alors \(b\) est un diviseur de \(a\).
La notation compacte pour 'b divise a' est \(b \mid a\).
On écrit \(b\mid a\) pour dire que \(b\) divise \(a\).
Un entier naturel \(p > 1\) est premier s'il n'a que deux diviseurs distincts.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Le nombre \(1\) est non considéré comme nombre premier.
Le cours rappelle explicitement que \(1\) n'est pas un nombre premier.
Si \(d \mid p\) pour un nombre premier \(p\), alors \(d\) appartient à \(\{1, p\}\).
Par définition d'un premier, ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
La décomposition en facteurs premiers est unique à l'ordre des facteurs près.
Le cours indique l'unicité de l'écriture en facteurs premiers (à la permutation près).
La formule générale d'écriture d'un entier \(n>1\) en facteurs premiers est \(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\).
Tout entier \(n>1\) s'écrit comme produit de puissances de nombres premiers, selon la formule donnée.
Exemple : \(60 = 2^{2} \times 3 \times 5\).
La décomposition connue est \(60=2^2\times 3\times 5\), donc le facteur manquant est 5.
Décomposition de 360 donne \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\).
Comme montré dans l'exemple, \(360=2^3\times 3^2\times 5\).
Pour la décomposition de 84 on commence par tester le 2 comme diviseur.
La méthode commence par tester le plus petit premier, soit 2, comme indiqué dans le cours.
On obtient \(84 = 2 \times 2 \times 21\) lors de la décomposition.
Après deux divisions par 2, le quotient restant est 21, comme dans l'exemple.
La décomposition finale de 84 est \(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\).
L'exemple conclut que \(84=2^2\times 3\times 7\).
Les 6 séries dans le bon ordre
Range dans l'ordre les étapes de la méthode de décomposition en facteurs premiers (du début à la fin).
- Choisir le plus petit nombre premier possible
- Diviser autant de fois que possible par ce premier
- Passer au nombre premier suivant
- Répéter jusqu'à obtenir le quotient 1
- Regrouper les puissances et écrire le produit
La méthode expliquée consiste à tester les premiers croissants, diviser répétitivement, progresser et enfin regrouper les puissances.
Remets dans l'ordre les étapes montrées pour la décomposition de \(360\).
- \(360 = 2 \times 180\)
- \(360 = 2 \times 2 \times 90\)
- \(360 = 2^{3} \times 45\)
- \(45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5\)
- \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\)
Les étapes suivent les divisions successives par 2 puis par 3 et la réorganisation finale en puissances.
Place ces étapes pour vérifier que \(b\) divise \(a\) dans l'ordre logique.
- Chercher un entier \(k\) tel que \(a = b \cdot k\)
- Vérifier que \(k\) est un entier
- Conclure que \(b \mid a\) si c'est le cas
La définition de la divisibilité implique de trouver et vérifier l'entier \(k\) puis d'en déduire la divisibilité.
Ordre les étapes utilisées dans l'exemple de décomposition de \(84\).
- \(84 = 2 \times 42\)
- \(84 = 2 \times 2 \times 21\)
- \(21 = 3 \times 7\)
- \(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\)
On divise d'abord par 2 deux fois, puis par 3, et on rassemble les facteurs premiers pour la forme finale.
Classe ces nombres premiers dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand).
- 2
- 3
- 5
- 7
L'ordre naturel des nombres premiers commence par 2, puis 3, 5, 7 comme indiqué pour les tests successifs.
Range ces actions pour 'tester un diviseur' selon la méthode enseignée.
- Choisir un diviseur candidat (commencer par 2)
- Diviser l'entier par ce diviseur
- Si le quotient est entier, répéter avec le même diviseur
- Sinon, essayer le diviseur premier suivant
La procédure consiste à tester un candidat, diviser autant que possible, puis passer au suivant si besoin.