Notion de fonction : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 19 affirmations corrigées
Une fonction associe à chaque valeur de son domaine une seule image.
Vrai — Par définition, une fonction ne peut pas associer plusieurs images à une même valeur du domaine.
Une fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une droite.
Vrai — Les fonctions affines ont pour graphique une droite d'équation y = ax + b.
La fonction racine carrée est définie pour tous les nombres réels.
Faux — Elle est définie uniquement pour x ≥ 0.
Une fonction croissante sur un intervalle a une pente positive partout dans cet intervalle.
Faux — Elle doit être monotone croissante, mais pas nécessairement avec une pente strictement positive partout.
L'image d'un entier par une fonction peut être un réel non entier.
Vrai — Une fonction peut associer un nombre réel à un entier, l'image n'étant pas forcément un entier.
La composition de deux fonctions est toujours une fonction.
Vrai — La composition f ∘ g est une fonction si g et f sont des fonctions appropriées.
Une fonction constante est une fonction dont toutes les images sont différentes.
Faux — Une fonction constante a toutes ses images identiques.
La dérivée d'une fonction indique la pente de sa courbe en chaque point.
Vrai — La dérivée donne la pente instantanée en chaque point où elle existe.
La fonction exponentielle est croissante sur l'ensemble des nombres réels.
Vrai — Elle est toujours croissante sur \(\mathbb{R}\).
Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Vrai — Par définition, f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x.
Une fonction impaire vérifie f(-x) = -f(x) pour tout x.
Vrai — C'est la définition d'une fonction impaire.
La fonction sinus est une fonction périodique.
Vrai — Elle a une période 2π.
La formule y = \\frac{1}{x} est une funktion rationnelle.
Vrai — Car elle change en une fonction rationnelle en 1/x.
La fonction logarithme n'est pas définie pour x ≤ 0.
Vrai — Elle est définie pour x > 0 uniquement.
Une fonction peut être définie uniquement sur un sous-ensemble de son domaine.
Vrai — Une fonction peut avoir un domaine restreint, comme un intervalle.
Les suites sont des exemples de fonctions.
Vrai — Une suite peut être vue comme une fonction définie sur l'ensemble \(\mathbb{N}\).
La symétrie par rapport à l'origine concerne la parité de la fonction.
Faux — C'est la définition d'une fonction impaire, pas simplement une symétrie.
Une fonction peut ne pas être continue à un point de son domaine.
Vrai — Une fonction peut présenter une discontinuité en un point donné.
Le graphique d'une fonction affine peut passer par l'origine uniquement si b=0.
Vrai — Si b=0, la droite passe par l'origine.
Les 10 notions à retenir
- Fonction
- Associe à chaque valeur du domaine une seule image.
- Fonction affine
- Graphique : une droite; forme y = ax + b.
- Dérivée
- Indique la pente de la courbe en chaque point.
- Paire
- F(x) = F(-x), symétrie axe y.
- Impaire
- F(-x) = -F(x), symétrie origine.
- Périodicité
- Fonction repeatant ses valeurs à intervalle fixe.
- Exponential
- Croît toujours sur \(\mathbb{R}\).
- Logarithme
- Inverse de la fonction exponentielle, défini pour x > 0.
- Suite
- Fonction définie sur \(\mathbb{N}\), valeurs successives.
- Racine carrée
- Solution positive de l'équation x^2 = a.
Les 15 phrases à connaître
Une fonction associe chaque valeur d'une variable à une seule valeur.
Par définition, à chaque valeur de la variable indépendante doit correspondre une seule valeur de la variable dépendante.
La variable indépendante est souvent notée \(x\).
Le cours précise que la variable indépendante est souvent notée \(x\).
La variable dépendante est souvent notée \(y\).
La variable qui dépend de \(x\) est généralement notée \(y\) dans la fiche.
On écrit généralement la relation entre \(x\) et \(y\) sous la forme \(y = f(x)\).
La notation standard donnée est \(y = f(x)\) pour indiquer que \(y\) dépend de \(x\).
Parmi les représentations d'une fonction on trouve le graphique, la formule et le tableau.
La fiche énumère explicitement graphique, formule et tableau comme représentations possibles.
Pour \(f(x)=2x+3\) on a \(f(4)=\(11\)\).
On calcule \(f(4)=2\times 4+3=8+3=11\) comme dans l'exemple du cours.
Une relation n'est pas une fonction si un même \(x\) correspond à plusieurs valeurs de \(y\).
La définition exige une seule valeur de \(y\) pour chaque \(x\); plusieurs valeurs interdisent la fonction.
La relation \(\{(1,2),(1,3)\}\) est pas une fonction.
Comme \(x=1\) donne \(y=2\) et \(y=3\), la relation n'est pas une fonction selon l'exemple du cours.
Pour vérifier si une relation est une fonction, il faut s'assurer qu'à chaque \(x\) correspond une seule valeur de \(y\).
Le critère rappelé est qu'à chaque \(x\) doit correspondre une seule valeur de \(y\).
La bonne réponse du mini-quiz donné dans la fiche est la deuxième.
Le cours indique explicitement que la réponse correcte au mini-quiz est la deuxième relation.
Une fonction est une règle qui à chaque valeur de la variable indépendante associe une seule valeur précise de la variable dépendante.
La définition insiste sur l'unicité et la précision de la valeur associée à chaque valeur indépendante.
La température d'une cuve dépend du temps : à chaque instant, la température a une seule valeur précise.
L'exemple concret montre qu'à un instant donné la température prend une seule valeur précise.
La fonction \(f(x)=2x+3\) est un exemple de fonction affine.
Le cours donne \(f(x)=2x+3\) comme exemple de fonction affine (de la forme \(ax+b\)).
Représenter une fonction par un graphe signifie associer à chaque \(x\) un point sur le plan.
Un point du plan correspond à la paire \((x,y)\) représentant l'association fournie par la fonction.
Il ne faut pas confondre relation et fonction.
La fiche met en garde que toute relation n'est pas nécessairement une fonction si un \(x\) a plusieurs \(y\).
Les 6 séries dans le bon ordre
Ranger ces étapes pour vérifier si une relation est une fonction (de la première à la dernière).
- Choisir une valeur de \(x\)
- Lister les valeurs de \(y\) associées à ce \(x\)
- Si plusieurs \(y\) existent, conclure 'pas une fonction' sinon 'fonction'
La méthode consiste à examiner chaque \(x\) et à vérifier qu'il n'a qu'une seule valeur de \(y\).
Ordonner les opérations pour calculer \(f(4)\) pour \(f(x)=2x+3\).
- Remplacer \(x\) par \(4\)
- Calculer \(2\times 4\)
- Ajouter \(3\) pour obtenir \(f(4)\)
On évalue l'expression en remplaçant \(x\), puis on effectue la multiplication et enfin l'addition comme dans l'exemple.
Mettre dans l'ordre les éléments de la définition d'une fonction tels que présentés dans la fiche.
- Variable indépendante, souvent notée \(x\)
- Règle qui associe
- Variable dépendante, souvent notée \(y\)
La définition lie la variable indépendante \(x\) à la variable dépendante \(y\) par une règle d'association.
Classer ces étapes pour montrer qu'une relation donnée n'est pas une fonction.
- Repérer un même \(x\) apparaissant plusieurs fois
- Vérifier que les \(y\) associés sont différents
- Conclure que ce n'est pas une fonction
Si un même \(x\) a deux valeurs de \(y\) différentes, la relation échoue au critère de fonction.
Ordonner ces étapes pour choisir, parmi plusieurs relations, celle qui est une fonction.
- Pour chaque relation, lister les valeurs de \(x\)
- Chercher si un \(x\) se répète avec plusieurs \(y\)
- Choisir la relation sans répétition de \(x\)
La relation qui n'a pas de \(x\) répété (avec plusieurs \(y\)) est la seule qui puisse être une fonction.
Ordonner les représentations d'une fonction dans l'ordre cité par le cours.
- Graphique
- Tableau
- Formule
La fiche énumère explicitement ces trois modes de représentation dans l'ordre 'graphique, tableau, formule'.