Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, quotient, composition : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 16 affirmations corrigées
La dérivée d'une somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées.
Vrai — C'est la règle fondamentale de la dérivée de la somme.
La dérivée du produit de deux fonctions est le produit de leurs dérivées.
Faux — Elle suit la règle du produit, qui implique une somme, pas un seul produit.
Pour dériver une composition, on utilise la règle de la chaîne.
Vrai — La règle de la chaîne permet de dériver une composition de fonctions.
La dérivée de \(f(x) = x^2\) est \(2x^2\).
Faux — La dérivée de \(x^2\) est \(2x\), pas \(2x^2\).
La règle de dérivation du quotient ne concerne que les fonctions linéaires.
Faux — Elle s'applique à toutes fonctions dérivables, pas seulement linéaires.
La dérivée de \(\sin(x^2)\) est \(\cos(x^2)\).
Faux — Il faut multiplier par la dérivée intérieure \(2x\), donc \(2x \cos(x^2)\).
La dérivée d'une fonction n'existe pas toujours en un point.
Vrai — Elle n'existe pas si la fonction n'est pas dérivable en ce point.
La règle du produit dit que \((f imes g)' = f' imes g'\).
Faux — La règle est \((f imes g)' = f' imes g + f imes g'\).
La règle du quotient donne \(\left( rac{f}{g} ight)' = rac{f' g - f g'}{g^2}\).
Vrai — C'est la formule correcte pour la dérivée d'un quotient.
La dérivée de \(x^3 + 2x\) est \(3x^2 + 2\).
Vrai — Dériver chaque terme donne \(3x^2 + 2\).
La dérivée de la somme est la différence des dérivées.
Faux — C'est la somme, pas la différence.
Pour dériver \(\sin(x^2)\), il faut utiliser la règle de la chaîne.
Vrai — C'est la règle adaptée pour une composition.
Une fonction dérivable en un point l'est forcément en tout point.
Faux — Elle doit être vérifiée en chaque point individuel.
Le dérivée de \( rac{1}{x}\) est \(- rac{1}{x^2}\).
Vrai — La dérivée de \(x^{-1}\) est \(-x^{-2}\).
Si \(f(x) = 3x^2\), alors \(f'(x) = 6x\).
Vrai — Dérivée simple d'une puissance de \(x\).
La règle de la chaîne est utilisée pour dériver la somme de fonctions.
Faux — Elle s'applique à la composition, pas à la somme.
Les 10 notions à retenir
- Dérivée d'une somme
- Somme des dérivées des fonctions.
- Règle du produit
- Dérivée d'un produit : \(f' g + f g'\).
- Règle du quotient
- Dérivée de \( rac{f}{g}\) : \( rac{f' g - f g'}{g^2}\).
- Règle de la chaîne
- Dérivée d'une composition : \(f' \circ g imes g'\).
- Formule du quotient
- \(\left( rac{f}{g} ight)' = rac{f' g - f g'}{g^2}\).
- Dérivée \(x^2\)
- La dérivée est \(2x\).
- Dérivée \(\sin(x^2)\)
- Utilise la règle de la chaîne, donne \(\cos(x^2) imes 2x\).
- Exemple dérivation somme
- Dériver la somme, résultat \(6x + 1\).
- Exemple dérivation produit
- Utilise la règle du produit, dérive \(2x \sin x + x^2 \cos x\).
- Exemple dérivation quotient
- Utilise la règle du quotient, obtient \( rac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2}\).
Les 10 phrases à connaître
La formule pour la dérivée du produit de deux fonctions est \( (f \times g)' = f' \times g + f \times g' \).
La règle du produit s'exprime par \( (f \times g)' = f' \times g + f \times g' \).
La dérivée du quotient de deux fonctions est donnée par la règle \( \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \).
La règle du quotient est \( \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \).
La dérivée d'une composition de fonctions est calculée avec la règle \( (f \circ g)' = f' \circ g \times g' \).
C'est la règle de la chaîne : \( (f \circ g)' = f' \circ g \times g' \).
La dérivée de la fonction \(f(x) = \sin(x^2)\) s'obtient par la règle de la chaîne.
La dérivée de \(f(x) = \sin(x^2)\) utilise la règle de la chaîne.
La formule pour la dérivée du quotient comporte un carré au dénominateur.
Le dénominateur dans la règle du quotient est \(g^2\), c'est un carré.
Dériver \(f(x) = x^3\) donne \(f'(x) = 3x^2\), par la règle du puissance.
La dérivée d'une fonction puissance \(x^n\) est \(nx^{n-1}\).
La règle de la chaîne s'applique lorsqu'on dérive une fonction composée.
Elle s'applique pour la dérivation d'une fonction composée.
Dans la règle du quotient, on soustrait \(f g'\) de \(f' g\) au numérateur.
Le numérateur est \(f' g - f g'\).
La dérivée de \(\sin(x^2)\) est \( \cos(x^2) imes 2x \).
C'est la règle de la chaîne : derivative interne \(g' = 2x\).
Il est important de vérifier que la fonction est dérivable avant de la dériver.
On doit vérifier la dérivabilité pour appliquer la dérivée.
Les 4 séries dans le bon ordre
Ranger les étapes pour dériver la somme de deux fonctions.
- Calculer la dérivée de chaque fonction
- Additionner les dérivées
- Obtenir la dérivée de la somme
Les étapes consistent à d'abord dériver chaque fonction, puis à additionner ces dérivées pour obtenir celle de la somme.
Classer dans le bon ordre la dérivation du produit de deux fonctions.
- Dériver chaque fonction séparément
- Multiplier la dérivée de la première par la seconde
- Multiplier la première par la dérivée de la seconde
- Additionner les deux produits
Il faut d'abord dériver chaque fonction, puis appliquer la règle du produit en multipliant et additionnant.
Organiser les étapes pour dériver un quotient.
- Dériver le numérateur
- Dériver le dénominateur
- Appliquer la formule du quotient
- Simplifier le résultat
Il faut dériver chaque partie et appliquer la règle du quotient en utilisant la formule appropriée.
Mettre dans l'ordre la dérivation d'une composition de fonctions.
- Dériver la fonction intérieure
- Dériver la fonction extérieure en évaluant la fonction intérieure
- Multiplier la dérivée extérieure par la dérivée intérieure
C'est la règle de la chaîne : dériver l'intérieur, puis la extérieure, puis multiplier.