Opérations sur les vecteurs : vrai ou faux et Memory

Additionner deux vecteurs se fait composante par composante.

Vrai — L'addition se calcule en sommant chaque composante correspondante (voir formule du cours).

Pour \(\vec{u}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\) et \(\vec{v}=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\), \(\vec{u}+\vec{v}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\).

Vrai — On ajoute composante à composante : \(3+1=4\) et \(4+(-2)=2\).

Soustraire deux vecteurs se fait composante par composante.

Vrai — La soustraction s'applique à chaque composante : \(v_i-u_i\) pour chaque indice.

Pour \(\vec{v}=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\) et \(\vec{u}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\), \(\vec{v}-\vec{u}=\begin{bmatrix}-2\\-6\end{bmatrix}\).

Vrai — On soustrait composante par composante : \(1-3=-2\) et \(-2-4=-6\).

Multiplier un vecteur par un scalaire multiplie chaque composante par ce scalaire.

Vrai — La formule du cours est \(k\times\vec{u}=\begin{bmatrix}k u_1\\k u_2\end{bmatrix}\).

Pour \(\vec{u}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\), \(2\times\vec{u}=\begin{bmatrix}6\\8\end{bmatrix}\).

Vrai — On multiplie chaque composante par 2 : \(2\times3=6\) et \(2\times4=8\).

On ne peut additionner que des vecteurs de même dimension.

Vrai — L'addition exige que les vecteurs aient le même nombre de composantes.

Multiplier par un scalaire change la longueur du vecteur sauf si le scalaire vaut 1.

Vrai — Le scalaire dilate ou contracte le vecteur (facteur 1 laisse la longueur inchangée).

Représenter graphiquement aide à comprendre l'effet des opérations.

Vrai — Le cours recommande la représentation graphique pour visualiser translations et changements d'échelle.

La règle d'or pour la soustraction est de faire attention aux signes.

Vrai — Confondre signes mène aux erreurs ; il faut calculer \(v_i-u_i\) exactement.

Soustraire deux vecteurs revient à soustraire leurs longueurs.

Faux — La soustraction se fait sur les composantes, pas sur les normes (longueurs).

Multiplier par un scalaire change seulement la direction du vecteur.

Faux — Le scalaire modifie la longueur (et peut inverser la direction si négatif), pas seulement la direction.

On peut additionner des vecteurs de dimensions différentes en complétant par des zéros.

Faux — Le cours rappelle qu'il faut respecter la même dimension ; on ne complète pas arbitrairement par des zéros.

Pour calculer \(2\times\vec{u}\) il suffit de doubler la première composante seulement.

Faux — Il faut multiplier chaque composante par 2, pas uniquement la première.

Additionner deux vecteurs ne dépend pas des signes des composantes.

Faux — Les signes influencent le résultat ; il faut additionner exactement chaque composante signée.

Si on oublie de multiplier une composante par le scalaire, le résultat reste correct.

Faux — Oublier une composante donne un résultat faux : chaque composante doit être multipliée.

Dans l'exemple, \(\vec{u}+\vec{v}=\begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix}\).

Faux — L'addition correcte donne \(\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\), donc cette écriture est incorrecte.

Les opérations sur les vecteurs ne servent pas à modéliser des déplacements.

Faux — Le cours indique précisément que ces opérations permettent de modéliser des déplacements dans le plan.

La soustraction composante par composante est \(\begin{bmatrix}v_1+u_1\\v_2+u_2\end{bmatrix}\).

Faux — La soustraction est \(\begin{bmatrix}v_1-u_1\\v_2-u_2\end{bmatrix}\), pas une addition des composantes.

Multiplier un vecteur par \(0\) laisse ses composantes inchangées.

Faux — Multiplier par 0 annule toutes les composantes, donnant le vecteur nul, pas le même vecteur.