Principe additif et multiplicatif : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 20 affirmations corrigées
Le principe additif s'applique à des ensembles disjoints.
Vrai — Le cours indique que l'additif concerne le choix dans des ensembles disjoints.
Le principe multiplicatif multiplie les choix successifs indépendants.
Vrai — Le multiplicatif compte les configurations par produit des choix à chaque étape indépendante.
Avec 3 pantalons et 2 chemises, il y a \(3+2=5\) choix possibles.
Vrai — L'exemple du cours montre l'addition quand on choisit soit un pantalon soit une chemise.
Avec 3 pantalons et 4 sacs, le nombre de tenues pantalon+sac est \(3\times4=12\).
Vrai — L'exemple du cours illustre la multiplication pour choix successifs pantalon puis sac.
Si A et B sont disjoints, alors \(\#(A\cup B)=\#A+\#B\).
Vrai — La formule additive donnée dans le cours est exactement \(\#A+\#B\) pour des ensembles disjoints.
Pour trois étapes indépendantes avec \(a_1,a_2,a_3\) choix, total = \(a_1+a_2+a_3\).
Faux — Le cours précise que pour des étapes successives on multiplie les nombres de choix, pas qu'on les additionne.
Former un nombre à 3 chiffres avec 1,2,3 sans répétition donne \(3\times2\times1=6\).
Vrai — L'exemple résolu du cours calcule bien \(3\times2\times1=6\) pour ces choix successifs.
Le principe additif s'utilise pour compter deux choix possibles en même temps.
Faux — L'additif s'applique quand on ne peut pas faire deux choix en même temps (ensembles disjoints).
Si deux options peuvent se produire simultanément, on additionne leurs nombres.
Faux — Le cours indique que si les choix peuvent se faire conjointement on utilise plutôt le principe multiplicatif.
Le principe multiplicatif demande d'additionner les choix à chaque étape.
Faux — Au contraire, le principe multiplicatif multiplie les nombres de choix à chaque étape.
Les principes évitent de tout compter manuellement.
Vrai — Le cours présente ces principes pour compter efficacement sans énumération manuelle.
Quand les ensembles sont disjoints, on multiplie leurs tailles.
Faux — Pour des ensembles disjoints le cours prescrit d'additionner, pas de multiplier.
Pour n étapes indépendantes, on calcule \(a_1\times a_2\times\dots\times a_n\).
Vrai — La formule multiplicative du cours est bien le produit \(a_1\times a_2\times\dots\times a_n\).
Choisir un pantalon OU une chemise est un exemple du principe additif.
Vrai — L'exemple pantalon (3) + chemise (2) = 5 illustre l'additif dans le cours.
Choisir un pantalon PUIS un sac est un exemple du principe multiplicatif.
Vrai — Le cours donne l'exemple 3 façons de vêtement et 4 sacs donnant \(3\times4=12\).
Confondre additif et multiplicatif est une erreur fréquente.
Vrai — Le cours signale explicitement que cette confusion est une erreur fréquente des élèves.
L'expression \(\#A+\#B\) s'utilise si A et B peuvent être choisis simultanément.
Faux — Selon le cours \(\#A+\#B\) s'utilise lorsque A et B sont disjoints, donc non simultanés.
Le principe multiplicatif ne s'applique jamais si on répète des éléments.
Faux — Le cours applique le multiplicatif même quand les possibilités évoluent étape par étape (exemple sans répétition).
Dans l'exemple chiffres 1,2,3 sans répétition, les étapes sont traitées par multiplication.
Vrai — L'exemple montre le produit des possibilités pour chaque rang: \(3\times2\times1\).
Le principe additif s'applique quand on veut former une tenue pantalon+sac.
Faux — Former une tenue pantalon+sac implique une succession de choix, donc le principe multiplicatif.
Les 10 notions à retenir
- Principe additif
- Additionner options lorsque les ensembles sont disjoints
- Principe multiplicatif
- Multiplier choix dans une succession d'étapes indépendantes
- Ensembles disjoints
- Options qui ne peuvent pas se produire simultanément
- Formule additive
- NOMBRE TOTAL = \(\#A+\#B\)
- Formule multiplicative
- NOMBRE TOTAL = \(a_1\times a_2\times\dots\times a_n\)
- Exemple 3+2
- 3 pantalons et 2 chemises donnent \(3+2=5\)
- Exemple 3×4
- 3 façons de vêtement et 4 sacs donnent \(3\times4=12\)
- Exemple 3 chiffres
- Nombres à 3 chiffres sans répétition: \(3\times2\times1=6\)
- Erreur fréquente
- Confondre addition et multiplication dans les choix
- Objectif du cours
- Comprendre et appliquer principes additif et multiplicatif
Les 15 phrases à connaître
Le principe additif concerne le choix dans des ensembles disjoints.
Le principe additif s'applique quand les cas sont mutuellement exclusifs, donc disjoints.
Le principe multiplicatif concerne la succession de choix indépendants.
On multiplie les choix quand chaque étape peut être choisie sans restreindre les autres, donc indépendantes.
Si on a 3 pantalons et 2 chemises, le principe additif donne \(3 + 2 = \(5\)\).
Additionner 3 et 2 donne bien \(5\) selon le principe additif.
Si on a 3 façons de choisir un vêtement et 4 façons de choisir un sac, on obtient \(3 \times 4 = \(12\)\).
Pour une succession indépendante de choix on multiplie, donc \(3 \times 4 = 12\).
La formule générale du principe multiplicatif pour \(n\) étapes est NOMBRE TOTAL = \(a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n\).
Le nombre total est le produit des nombres de choix à chaque étape, soit \(a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n\).
Combien de nombres à 3 chiffres peut-on former avec les chiffres 1, 2, 3 sans répétition ? Total : \(3 \times 2 \times 1 = \(6\)\).
Avec succession de choix sans répétition on calcule \(3 \times 2 \times 1 = 6\).
Dans le principe additif, on additionne le nombre d'options lorsqu'on ne peut pas faire deux choix en même temps.
Le principe additif s'applique quand les choix ne peuvent pas être faits simultanément, donc en même temps.
Attention : Ne pas confondre le principe additif et le principe multiplicatif.
Le cours insiste sur la distinction entre addition (cas disjoints) et multiplication (succession indépendante).
Le principe additif s'applique quand les ensembles sont mutuellement exclusifs.
Être mutuellement exclusifs signifie qu'on ne peut pas avoir deux cas à la fois, condition du principe additif.
Dans un problème de dénombrement, il faut analyser si les choix sont disjoints ou s'il s'agit d'une succession de choix.
On cherche à savoir si les choix se succèdent (donc on multiplie) ou sont disjoints (on additionne).
Le résumé : principe multiplicatif = multiplier les choix successifs.
Le multiplicatif s'applique aux choix successifs, étape par étape.
Cartes mémo : Pantalons (3) + Chemises (2) = \(5\) ; Choix d’un pantalon puis d’un sac : 3 × 4 = 12.
L'addition de 3 et 2 donne \(5\) dans l'exemple additif des cartes mémo.
Formule additif : Si \(A\) et \(B\) sont disjoints, NOMBRE TOTAL = \(\#A + \#B\).
Pour deux ensembles disjoints le nombre d'éléments de l'union est la somme des cardinaux, \(\#A + \#B\).
Exemple résolu : choix premier chiffre 3, deuxième 2, troisième 1 ; total = \(3 \times 2 \times 1 = \(6\)\).
La multiplication des possibilités successives donne \(3 \times 2 \times 1 = 6\).
Objectifs du chapitre : Comprendre et appliquer les principes additif et multiplicatif.
Le but annoncé est bien de comprendre et d'appliquer ces principes pour résoudre des problèmes.
Les 6 séries dans le bon ordre
Remettre dans l'ordre les étapes pour choisir la bonne règle (additive ou multiplicative) en résolution de problème.
- Lire attentivement l'énoncé
- Identifier les choix présents
- Analyser si les cas sont disjoints
- Si disjoints, additionner les options
- Sinon vérifier s'il s'agit d'une succession indépendante
- Si succession indépendante, multiplier les choix
On commence par comprendre l'énoncé et identifier les choix, puis on distingue cas disjoints (addition) et succession indépendante (multiplication) pour calculer.
Remettre dans l'ordre les étapes du raisonnement pour l'exemple des nombres à 3 chiffres sans répétition.
- Choisir le premier chiffre (3 possibilités)
- Choisir le deuxième chiffre (2 possibilités)
- Choisir le troisième chiffre (1 possibilité)
- Multiplier les possibilités pour obtenir le total
Chaque étape réduit les possibilités sans répétition, donc on multiplie 3 × 2 × 1 pour le total.
Remettre dans l'ordre les opérations pour appliquer la formule multiplicative générale.
- Repérer le nombre d'étapes n
- Lister les nombres de choix \(a_1, a_2, \dots, a_n\)
- Construire le produit \(a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n\)
- Écrire NOMBRE TOTAL = produit obtenu
On identifie d'abord les étapes et leurs choix, puis on multiplie tous les termes pour obtenir le nombre total.
Remettre dans l'ordre les étapes pour résoudre l'exemple Pantalons (3) + Chemises (2).
- Compter les pantalons (3)
- Compter les chemises (2)
- Vérifier que on ne porte pas pantalon et chemise en même choix (cas disjoints)
- Additionner pour obtenir 5
Après avoir compté chaque catégorie et vérifié qu'elles sont disjointes, on additionne les nombres d'options.
Remettre dans l'ordre les vérifications à faire pour éviter l'erreur fréquente entre additif et multiplicatif.
- Lire l'énoncé et identifier les choix
- Vérifier si les cas sont disjoints
- Vérifier si les choix se succèdent indépendamment
- Choisir addition ou multiplication en conséquence
Il faut d'abord identifier les choix, puis tester s'ils sont disjoints ou successifs pour appliquer la bonne règle.
Remettre dans l'ordre les actions à faire pour rédiger une solution de dénombrement claire.
- Présenter le modèle de comptage (additif ou multiplicatif)
- Donner le détail des nombres de choix par cas ou par étape
- Effectuer le calcul (somme ou produit)
- Donner le résultat final clairement
Une solution structurée présente d'abord la méthode, détaille les choix, calcule puis conclut par le résultat.