Racines, discriminant, somme et produit des racines : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
1ère › Mathematiques › Fonctions polynômes du second degré. Teste tes connaissances en quelques minutes, sans inscription : la correction s'affiche à chaque réponse.
Révision : les 20 affirmations corrigées
Une fonction polynôme du second degré s'écrit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\).
Vrai — Vrai : la définition impose la forme \(ax^2+bx+c\) et \(a\) non nul.
Les racines sont les valeurs de \(x\) telles que \(f(x)=0\).
Vrai — Vrai : par définition une racine annule la fonction, donc satisfait \(f(x)=0\).
Le discriminant se note \(\Delta\) et vaut \(b^2-4ac\).
Vrai — Vrai : la formule du cours donne \(\Delta=b^2-4ac\).
Si \(\Delta>0\), l'équation admet deux racines réelles distinctes.
Vrai — Vrai : un discriminant strictement positif donne deux solutions réelles distinctes.
Si \(\Delta=0\), il y a une racine double donnée par \(x=-\frac{b}{2a}\).
Vrai — Vrai : quand \(\Delta=0\) les deux solutions coïncident en \(-\frac{b}{2a}\).
Si \(\Delta<0\), les racines sont des complexes conjugués.
Vrai — Vrai : pour des coefficients réels un discriminant négatif donne deux complexes conjugués.
La somme des racines vérifie \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\).
Vrai — Vrai : relation issue de la comparaison des coefficients du polynôme.
Le produit des racines vaut \(x_1\times x_2=\frac{c}{a}\).
Vrai — Vrai : le produit des racines est égal au terme constant sur \(a\).
Les racines d'un polynôme du second degré sont solutions de \(ax^2+bx+c=0\).
Vrai — Vrai : chercher les racines revient à résoudre l'équation associée \(ax^2+bx+c=0\).
La connaissance du discriminant permet de déterminer le nombre de racines réelles.
Vrai — Vrai : le signe de \(\Delta\) indique 0, 1 ou 2 racines réelles selon les cas.
Si \(\Delta>0\), il n'y a qu'une seule racine réelle.
Faux — Faux : lorsque \(\Delta>0\) il y a deux racines réelles distinctes, pas une seule.
La somme des racines est \(\frac{b}{a}\).
Faux — Faux : le signe est erroné, la somme vaut \(-\frac{b}{a}\).
Le produit des racines est \(-\frac{c}{a}\).
Faux — Faux : le produit est \(+\frac{c}{a}\), le signe négatif est une erreur fréquente.
La racine double quand \(\Delta=0\) est \(x=-\frac{b}{a}\).
Faux — Faux : la racine double vaut \(-\frac{b}{2a}\), on oublie souvent le \(2\).
Le discriminant vaut \(b^2+4ac\).
Faux — Faux : le discriminant comporte un signe moins, \(\Delta=b^2-4ac\).
Les racines complexes ne peuvent pas être conjuguées si \(a,b,c\) sont réels.
Faux — Faux : avec coefficients réels, les racines complexes arrivent toujours par paires conjuguées.
Une fonction de la forme \(f(x)=ax^2+bx+c\) est du second degré même si \(a=0\).
Faux — Faux : si \(a=0\) ce n'est plus un polynôme du second degré mais une fonction de degré inférieur.
Si \(\Delta<0\), il existe deux racines réelles simples.
Faux — Faux : lorsque \(\Delta<0\) il n'y a pas de racines réelles, seulement deux complexes.
Les racines sont données par \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{a}\).
Faux — Faux : le dénominateur correct est \(2a\), pas \(a\).
Le discriminant ne dépend pas de \(c\).
Faux — Faux : le discriminant contient le terme \(-4ac\), il dépend donc de \(c\).
Les 10 notions à retenir
- Fonction du second degré
- Forme \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\)
- Racine
- Valeur \(x\) telle que \(f(x)=0\)
- Équation associée
- Équation \(ax^2+bx+c=0\)
- Discriminant
- \(\Delta=b^2-4ac\)
- Cas \(\Delta>0\)
- Deux racines réelles distinctes
- Cas \(\Delta=0\)
- Une racine double \(x=-\frac{b}{2a}\)
- Cas \(\Delta<0\)
- Racines complexes conjuguées
- Somme des racines
- \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
- Produit des racines
- \(x_1x_2=\frac{c}{a}\)
- Formule des racines
- \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Les 10 phrases à connaître
Le discriminant, noté Δ, détermine le nombre de racines d'une parabole.
Le discriminant \(Δ\) indique si l'équation a deux, une ou aucune racine réelle.
Pour une équation du second degré, si Δ est positif, il y a deux racines réelles distinctes.
Un discriminant positif implique deux solutions réelles différentes.
Les racines d'une équation du second degré peuvent être calculées avec la formule \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).
C'est la formule du discriminant pour résoudre une équation quadratique.
La somme des racines d'une équation est donnée par \(-\frac{b}{a}\).
Selon Vieta, la somme des racines \(x_1 + x_2\) est égal à \(-\frac{b}{a}\).
Le produit des racines d'une équation est égal à \(\frac{c}{a}\).
Selon Vieta, le produit \(x_1 x_2\) est égal à \(\frac{c}{a}\).
Une racine double survient lorsque le discriminant est zéro.
Lorsque \(\Delta=0\), il y a une racine double.
L'axe de symétrie de la parabole est la droite verticale passant par le milieu des racines.
L'axe de symétrie est la droite qui passe par le milieu entre les racines.
Une équation du second degré est appelée double si ses racines sont égales.
Une racine double correspond à \(\Delta=0\).
Les racines d'une fonction quadratique peuvent être imaginaires si Δ est négatif.
Un discriminant négatif indique des racines complexes conjugées.
La forme factorisée d'une parabole s'écrit généralement comme \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
La factorisation repose sur les racines, exprimée dans cette forme.
Les 3 séries dans le bon ordre
Mettre dans l'ordre pour résoudre une équation du second degré:
- Calculer le discriminant Δ
- Vérifier le signe de Δ
- Appliquer la formule \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Ce sont les étapes pour résoudre une équation quadratique quand on connaît le discriminant.
Organiser les éléments pour calculer la somme et le produit des racines:
- Identifier les coefficients a, b, c
- Calculer la somme \(-\frac{b}{a}\)
- Calculer le produit \(\frac{c}{a}\)
Vieta's formulas permettent de déterminer la somme et le produit des racines à partir de coefficients.
Mettre en ordre les étapes pour analyser la parabole:
- Choisir le signe de a
- Tracer la parabole
- Identifier l'axe de symétrie
L'étude de la parabole commence par le signe de a, suivi de son graphique et de l'axe de symétrie.