Racines, discriminant, somme et produit des racines : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 19 affirmations corrigées
Une fonction polynôme du second degré s'écrit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\).
Vrai — Vrai : la définition impose la forme \(ax^2+bx+c\) et \(a\) non nul.
Les racines sont les valeurs de \(x\) telles que \(f(x)=0\).
Vrai — Vrai : par définition une racine annule la fonction, donc satisfait \(f(x)=0\).
Le discriminant se note \(\Delta\) et vaut \(b^2-4ac\).
Vrai — Vrai : la formule du cours donne \(\Delta=b^2-4ac\).
Si \(\Delta>0\), l'équation admet deux racines réelles distinctes.
Vrai — Vrai : un discriminant strictement positif donne deux solutions réelles distinctes.
Si \(\Delta=0\), il y a une racine double donnée par \(x=-\frac{b}{2a}\).
Vrai — Vrai : quand \(\Delta=0\) les deux solutions coïncident en \(-\frac{b}{2a}\).
Si \(\Delta<0\), l'équation \(ax^2+bx+c=0\) n'a aucune solution réelle.
Vrai — Vrai : un discriminant strictement négatif signifie qu'il n'y a pas de racine réelle.
Lorsque \(\Delta\ge0\), la somme des racines vérifie \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\).
Vrai — Vrai : relation obtenue en développant \(a(x-x_1)(x-x_2)\) et en identifiant les coefficients.
Lorsque \(\Delta\ge0\), le produit des racines vaut \(x_1\times x_2=\frac{c}{a}\).
Vrai — Vrai : le produit des racines est égal au terme constant divisé par \(a\).
Les racines d'un polynôme du second degré sont solutions de \(ax^2+bx+c=0\).
Vrai — Vrai : chercher les racines revient à résoudre l'équation associée \(ax^2+bx+c=0\).
La connaissance du discriminant permet de déterminer le nombre de racines réelles.
Vrai — Vrai : le signe de \(\Delta\) indique 0, 1 ou 2 racines réelles selon les cas.
Si \(\Delta>0\), il n'y a qu'une seule racine réelle.
Faux — Faux : lorsque \(\Delta>0\) il y a deux racines réelles distinctes, pas une seule.
La somme des racines est \(\frac{b}{a}\).
Faux — Faux : le signe est erroné, la somme vaut \(-\frac{b}{a}\).
Le produit des racines est \(-\frac{c}{a}\).
Faux — Faux : le produit est \(+\frac{c}{a}\), le signe négatif est une erreur fréquente.
La racine double quand \(\Delta=0\) est \(x=-\frac{b}{a}\).
Faux — Faux : la racine double vaut \(-\frac{b}{2a}\), on oublie souvent le \(2\).
Le discriminant vaut \(b^2+4ac\).
Faux — Faux : le discriminant comporte un signe moins, \(\Delta=b^2-4ac\).
Une fonction de la forme \(f(x)=ax^2+bx+c\) est du second degré même si \(a=0\).
Faux — Faux : si \(a=0\) ce n'est plus un polynôme du second degré mais une fonction de degré inférieur.
Si \(\Delta<0\), il existe deux racines réelles simples.
Faux — Faux : lorsque \(\Delta<0\), l'équation n'a aucune racine réelle.
Les racines sont données par \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{a}\).
Faux — Faux : le dénominateur correct est \(2a\), pas \(a\).
Le discriminant ne dépend pas de \(c\).
Faux — Faux : le discriminant contient le terme \(-4ac\), il dépend donc de \(c\).
Les 10 notions à retenir
- Fonction du second degré
- Forme \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\)
- Racine
- Valeur \(x\) telle que \(f(x)=0\)
- Équation associée
- Équation \(ax^2+bx+c=0\)
- Discriminant
- \(\Delta=b^2-4ac\)
- Cas \(\Delta>0\)
- Deux racines réelles distinctes
- Cas \(\Delta=0\)
- Une racine double \(x=-\frac{b}{2a}\)
- Cas \(\Delta<0\)
- Aucune racine réelle
- Somme des racines
- \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
- Produit des racines
- \(x_1x_2=\frac{c}{a}\)
- Formule des racines
- \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Les 10 phrases à connaître
Le discriminant, noté Δ, détermine le nombre de racines réelles d'un trinôme du second degré.
Le discriminant \(\Delta\) indique si l'équation a deux, une ou aucune racine réelle.
Pour une équation du second degré, si Δ est strictement positif, il y a deux racines réelles distinctes.
Un discriminant strictement positif implique deux solutions réelles différentes.
Lorsque \(\Delta\ge0\), les racines d'une équation du second degré se calculent avec la formule \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).
C'est la formule des racines : \(-b\), plus ou moins la racine carrée de \(\Delta\), le tout divisé par \(2a\).
La somme des racines d'une équation du second degré est donnée par \(-\frac{b}{a}\).
D'après les relations de Viète, la somme des racines \(x_1 + x_2\) est égale à \(-\frac{b}{a}\).
Le produit des racines d'une équation du second degré est égal à \(\frac{c}{a}\).
D'après les relations de Viète, le produit \(x_1 x_2\) est égal à \(\frac{c}{a}\).
Il y a une racine double lorsque le discriminant est égal à zéro.
Lorsque \(\Delta=0\), les deux racines sont confondues : c'est une racine double.
Lorsque \(\Delta>0\), l'axe de symétrie de la parabole passe par le milieu des deux racines.
L'axe de symétrie a pour équation \(x=-\frac{b}{2a}=\frac{x_1+x_2}{2}\) : il passe par le milieu des racines.
Lorsque \(\Delta=0\), l'équation admet une racine double.
Une racine double correspond à \(\Delta=0\) : elle vaut \(-\frac{b}{2a}\).
Si Δ est strictement négatif, l'équation du second degré n'a aucune racine réelle.
Un discriminant strictement négatif indique qu'il n'y a pas de racine réelle.
Lorsque \(\Delta>0\), la forme factorisée du trinôme \(ax^2+bx+c\) s'écrit \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
La factorisation repose sur les racines \(x_1\) et \(x_2\).
Les 3 séries dans le bon ordre
Mettre dans l'ordre pour résoudre une équation du second degré:
- Calculer le discriminant Δ
- Vérifier le signe de Δ
- Appliquer la formule \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Ce sont les étapes pour résoudre une équation quadratique quand on connaît le discriminant.
Mettre dans l'ordre pour trouver deux nombres dont on connaît la somme S et le produit P :
- Écrire l'équation \(x^2-Sx+P=0\)
- Calculer le discriminant \(\Delta\)
- Calculer les racines de l'équation
- Conclure : les deux nombres sont les racines
Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de \(x^2-Sx+P=0\) : on résout cette équation avec le discriminant.
Mettre en ordre les étapes pour tracer la parabole d'une fonction du second degré :
- Repérer le signe de a (sens d'ouverture)
- Calculer les coordonnées du sommet \(\left(-\frac{b}{2a}\,;\,f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\)
- Tracer l'axe de symétrie \(x=-\frac{b}{2a}\)
- Tracer la parabole
On connaît d'abord la forme de la parabole (signe de a), puis son sommet et son axe, et l'on peut enfin la tracer.