Sens de variation : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre

Si \(f'(x)>0\) pour tout x d'un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.

Vrai — Le signe positif de la dérivée sur l'intervalle implique que la fonction augmente là-dessus.

Si \(f'(x)<0\) sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.

Vrai — Un signe négatif de \(f'\) indique que la fonction diminue sur cet intervalle.

Pour la fonction \(f(x)=2x+5\), \(f'(x)=2\) est positif partout.

Vrai — La dérivée d'une fonction affine \(ax+b\) est la constante \(a\), ici \(2>0\).

Pour \(f(x)=x^3-3x+1\), les racines de \(f'\) sont \(x=\pm 1\).

Vrai — On a \(f'(x)=3x^2-3\) et \(3x^2-3=0\) donne \(x^2=1\), donc \(x=\pm1\).

Sur l'intervalle \((-1,1)\), \(f'(x)=3x^2-3\) est négative.

Vrai — Si \(|x|<1\) alors \(x^2<1\) donc \(3x^2-3<0\).

Si \(f'(a)=0\) alors on dit que f est stationnaire en a.

Vrai — La dérivée nulle en un point désigne un point stationnaire.

Si \(f'(a)=0\) alors f a un extremum en a.

Faux — Une annulation de \(f'\) peut être un point d'inflexion et pas forcément un extremum.

Une fonction est dite croissante si pour tous \(x_1<x_2\) on a \(f(x_1)>f(x_2)\).

Faux — La croissance impose \(f(x_1)\le f(x_2)\) (ou strictement \(<\) pour croissance stricte), pas \(>\).

Si \(f'(x)>0\) en un seul point, alors f est croissante sur tout l'intervalle.

Faux — La positivité en un point isolé n'impose pas la variation sur l'ensemble de l'intervalle.

Le signe de la dérivée et la pente de la tangente sont deux grandeurs différentes.

Faux — La dérivée en un point est précisément la pente de la tangente en ce point.

Étudier le signe de \(f'\) permet de repérer maximums et minimums locaux.

Vrai — Les changements de signe de \(f'\) en des points où \(f'=0\) signalent des extrema locaux.

Une fonction affine a une dérivée constante sur \(\mathbb{R}\).

Vrai — Pour \(f(x)=ax+b\) on a \(f'(x)=a\) partout, une constante.

Si \(f'\) change de signe de + à - en un point, alors c'est un minimum local.

Faux — Un passage de + à - indique un maximum local, pas un minimum.

Si \(f'\) change de signe de + vers - en un point alors c'est un maximum local.

Vrai — La dérivée positive avant et négative après décrit une montée puis une descente, donc un maximum local.

Dans l'exemple, \(f\) est croissante sur \((1,+\infty)\).

Vrai — Pour \(x>1\) on a \(3x^2-3>0\), donc \(f'\) est positive et \(f\) croît.

La seule façon de déterminer le sens de variation est de calculer \(f'\).

Faux — On peut aussi raisonner sur l'expression algébrique ou utiliser des propriétés connues sans dérivée explicite.

Une annulation isolée de \(f'\) peut indiquer un extremum local.

Vrai — Si \(f'\) change de signe en ce point, l'annulation correspond à un extremum local.

Si \(f\) est croissante sur un intervalle alors \(f'(x)>0\) en tout point de cet intervalle.

Faux — La fonction peut rester croissante même si \(f'\) s'annule en quelques points isolés.

Sur \(( -\infty,-1)\), pour la fonction donnée, \(f'\) est positive.

Vrai — Pour \(x<-1\) on a \(x^2>1\) donc \(3x^2-3>0\), d'où \(f'>0\) sur cet intervalle.

Pour \(f(x)=x^3-3x+1\), les points \(x=\pm1\) sont forcément des extrema globaux.

Faux — Ces points sont des extrema locaux identifiés par \(f'\), pas nécessairement des extrema globaux.

Une fonction est dite croissante sur un intervalle si, pour tous \(x_1, x_2\) dans cet intervalle, si \(x_1 < x_2\) alors \(f(x_1) \le f(x_2)\).

La définition : croissante signifie que des abscisses plus grandes donnent des images plus grandes ou égales.

Si on remplace \(\le\) par \(<\) on obtient la notion de fonction strictement croissante.

Strictement croissante impose \(f(x_1) < f(x_2)\) quand \(x_1 < x_2\).

Le signe de la dérivée \(\textbf{f'}(x)\) indique le sens de variation de la fonction.

On utilise \(f'\) pour conclure si la fonction augmente ou diminue.

Si \(\textbf{f'}(x) > 0\) alors la fonction est croissante.

Une dérivée positive signifie que la fonction augmente localement.

Si \(\textbf{f'}(x) < 0\) alors la fonction est décroissante.

Une dérivée négative indique que la fonction diminue localement.

Quand \(\textbf{f'}(x) = 0\) en un point, on dit que la fonction est stationnaire en ce point.

L'annulation de \(f'\) caractérise un point stationnaire, possible extremum.

Pour la fonction \(f(x)=x^3-3x+1\), la dérivée calculée est \(3x^2 - 3\).

Dériver \(x^3\) donne \(3x^2\) et \(-3x\) donne \(-3\).

Les solutions de \(3x^2 - 3 = 0\) sont \(x = \pm 1\).

On factorise : \(3(x^2-1)=0\) donc \(x^2=1\) d'où \(x=\pm1\).

Dans l'exemple \(f(x)=x^3-3x+1\), \(f\) est décroissante sur \((-1,1)\).

Entre \(-1\) et \(1\) la dérivée \(3x^2-3\) est négative.

La même fonction est croissante sur \((-\infty,-1)\).

Pour \(x<-1\), \(3x^2-3>0\) donc la fonction est croissante sur cet intervalle.

Pour \(f(x)=2x+5\), la dérivée est la constante \(2\).

La dérivée d'une fonction affine \(ax+b\) est la constante \(a\), ici \(2\).

La fonction \(2x+5\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

La dérivée constante et positive \(2\) implique strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Une erreur fréquente est de confondre le signe de la dérivée et la pente de la tangente.

La pente de la tangente est effectivement liée à \(f'\), mais attention au sens du signe.

Le sens de variation permet de repérer des maximums et minimums locaux ou globaux.

En étudiant où \(f'\) change de signe on identifie maxima et minima locaux ou globaux.