Suites arithmétiques et géométriques : terme général, somme : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre

Une suite est une liste ordonnée de nombres.

Vrai — La définition d'une suite numérique est précisément une liste ordonnée de nombres.

On note habituellement une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

Vrai — La notation \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) indique les termes indexés par les entiers naturels.

Pour une suite arithmétique on a \(u_{n+1}-u_n=r\).

Vrai — La différence consécutive constante \(r\) est la définition d'une suite arithmétique.

Le terme général d'une suite arithmétique peut s'écrire \(u_n = u_0 + n r\).

Vrai — Avec l'indexation à partir de \(u_0\), on obtient bien \(u_n = u_0 + n r\).

La somme des \(n\) premiers termes d'une suite arithmétique vaut \(S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n)\).

Vrai — C'est la formule classique pour la somme des \(n\) premiers termes indexés à partir de \(u_1\).

Dans la suite \(3,5,7,9,\dots\) la raison vaut \(r=2\).

Vrai — Chaque terme augmente de 2, donc la raison arithmétique est 2.

Une suite géométrique vérifie \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\).

Vrai — Le rapport consécutif constant \(q\) définit une suite géométrique.

Le terme général d'une suite géométrique s'écrit \(u_n = u_1 \times q^{n-1}\).

Vrai — Avec premier terme \(u_1\), on multiplie par \(q^{n-1}\) pour obtenir \(u_n\).

Pour \(q \neq 1\), la somme des \(n\) premiers termes géométriques est \(S_n = u_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1}\).

Vrai — C'est la formule donnée pour la somme d'une suite géométrique quand \(q\neq1\).

Dans la suite \(2,4,8,16,\dots\) la raison géométrique est \(q=2\).

Vrai — Chaque terme est obtenu en multipliant par 2, donc \(q=2\).

Pour une suite arithmétique on a \(u_n = u_1 + n r\).

Faux — Erreur fréquente: il faut écrire \(u_n = u_1 + (n-1) r\) si l'on indexe à partir de \(u_1\).

La somme des \(n\) premiers termes arithmétiques est \(S_n = n(u_1+u_n)\).

Faux — Il manque le facteur \(\tfrac{1}{2}\) : la formule correcte est \(\tfrac{n}{2}(u_1+u_n)\).

Le terme général d'une suite géométrique est toujours \(u_n = u_0 \times q^{n-1}\).

Faux — Si on utilise \(u_0\) alors la formule correcte est \(u_n = u_0 \times q^n\), pas \(q^{n-1}\).

La formule \(S_n = u_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1}\) reste valable pour \(q=1\).

Faux — La formule est uniquement pour \(q\neq1\); pour \(q=1\) on a \(S_n = n\times u_1\).

Une suite arithmétique est caractérisée par un rapport constant \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\).

Faux — Ceci définit une suite géométrique; l'arithmétique a une différence constante, pas un rapport.

Le terme initial est toujours noté \(u_1\).

Faux — On peut indexer une suite à partir de \(u_0\) ou \(u_1\), le cours le précise explicitement.

Dans l'exemple \(3,5,7,9,\dots\) il est impossible que \(u_0\) existe.

Faux — Fausse idée: l'exemple du cours donne justement \(u_0=3\) comme terme initial possible.

La raison d'une suite géométrique se calcule par \(q = u_{n+1}-u_n\).

Faux — Erreur d'opération: la raison géométrique est un rapport, \(q=\frac{u_{n+1}}{u_n}\), pas une différence.

La formule \(S_n = \frac{n}{2}(u_0+u_n)\) est toujours correcte pour la somme arithmétique donnée dans le cours.

Faux — Le cours donne la formule avec \(u_1\) : \(S_n=\tfrac{n}{2}(u_1+u_n)\); utiliser \(u_0\) nécessite adapter l'indexation.

Dans la suite géométrique \(2,4,8,16,\dots\) on a \(u_0=1\).

Faux — Le cours prend \(u_0=2\) pour cet exemple, donc \(u_0=1\) est incorrect ici.

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres .

Par définition une suite numérique est une liste ordonnée de nombres.

Une suite est généralement notée \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) .

La notation usuelle donnée dans le cours est \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

Chaque terme d'une suite est noté \(u_n\) .

On note chaque terme d'une suite par \(u_n\) avec \(n\) entier naturel.

Une suite est arithmétique si \(u_{n+1} - u_n = \(r\)\).

La différence constante entre deux termes consécutifs est la raison \(r\).

La constante \(r\) d'une suite arithmétique s'appelle la raison .

Dans les suites arithmétiques, la constante \(r\) est appelée la raison.

Terme général arithmétique : \(u_n = u_0 + n \times \(r\)\).

La formule du cours donne \(u_n = u_0 + n\times r\).

On peut aussi écrire pour une suite arithmétique \(u_n = u_1 + (n - 1) \times \(r\)\).

L'expression alternative du terme général utilise aussi la raison \(r\).

Dans la suite arithmétique \(3,5,7,9,\ldots\) la raison est 2 .

La différence entre deux termes consécutifs est \(5-3=2\), donc \(r=2\).

Dans cet exemple arithmétique, le terme initial \(u_0\) vaut 3 .

Le cours indique que pour la suite donnée on a \(u_0=3\).

La somme des \(n\) premiers termes d'une suite arithmétique est \(S_n = \(\frac{n}{2} \times (u_1 + u_n)\)\).

La formule donnée est \(S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n)\).

Une suite est géométrique si \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \(q\)\).

La raison d'une suite géométrique est le rapport constant \(q\).

Terme général géométrique : \(u_n = u_0 \times \(q^n\)\).

Le cours donne la formule \(u_n = u_0 \times q^n\) pour une suite géométrique.

On peut aussi écrire pour une suite géométrique \(u_n = u_1 \times \(q^{n-1}\)\).

L'expression alternative du terme général est \(u_n = u_1 \times q^{n-1}\).

Pour \(q \neq 1\), la somme des \(n\) premiers termes géométriques est \(S_n = \(u_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1}\)\).

La formule du cours pour \(q\neq 1\) est \(S_n = u_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1}\).