Systèmes d’équations : texte à trous et remets dans l'ordre
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Dans la méthode par substitution, on commence par isoler ? dans l'une des équations.
Les 12 phrases à connaître
Dans la méthode par substitution, on commence par isoler une inconnue dans l'une des équations.
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une seule des équations, puis on la remplace dans l'autre.
Une solution du système est un couple de nombres réels qui vérifie toutes les équations.
Une solution est un couple de nombres réels (x ; y) qui vérifie toutes les équations du système en même temps.
Graphiquement, chaque équation d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues est représentée par une droite.
Une équation ax + by = c (avec a et b non tous deux nuls) est l'équation d'une droite ; les solutions du système sont les coordonnées des points communs aux deux droites.
Dans la méthode par substitution, on remplace une inconnue par son expression en fonction de l'autre dans la seconde équation.
Par exemple, si y = 5 − x, on remplace y par 5 − x dans l'autre équation.
La méthode d'élimination consiste à additionner ou soustraire les équations pour faire disparaître une variable.
La méthode par combinaison (élimination) additionne ou soustrait des multiples des équations pour éliminer une inconnue.
Un système est dit compatible s'il possède au moins une solution(s).
Un système compatible admet au moins une solution ; un système incompatible n'en a aucune.
Lorsque les deux droites sont parallèles et distinctes, le système est incompatible.
Des droites parallèles distinctes n'ont aucun point commun : le système n'a pas de solution.
Pour vérifier qu'un couple (x ; y) est solution du système, on remplace x et y par leurs valeurs dans chaque équation.
Le couple est solution s'il vérifie chacune des équations après remplacement.
Si les deux droites sont sécantes, le système a une seule solution.
Deux droites sécantes ont un unique point d'intersection : le système a une seule solution, le couple de ses coordonnées.
Si les deux équations sont représentées par la même droite (droites confondues), le système a une infinité de solutions.
Tous les points de la droite sont communs aux deux équations : le système a une infinité de solutions.
La résolution graphique d'un système consiste à tracer les deux droites dans un même repère, puis à lire les coordonnées de leur point d'intersection.
La lecture graphique donne une solution souvent approchée, qu'on vérifie par le calcul.
Un système dont toutes les équations sont linéaires est qualifié de linéaire.
Un système linéaire comporte uniquement des équations du premier degré en ses inconnues.
Les 4 séries dans le bon ordre
Remettre dans l'ordre les étapes de la méthode par substitution :
- Isoler une inconnue dans l'une des équations
- Remplacer cette inconnue dans l'autre équation
- Résoudre l'équation à une inconnue obtenue
- Calculer la seconde inconnue
- Vérifier le couple dans les deux équations
On isole, on substitue, on résout, on calcule l'autre inconnue, puis on vérifie.
Remettre dans l'ordre les étapes de la résolution graphique d'un système :
- Écrire chaque équation sous la forme y = ax + b
- Tracer les deux droites dans un même repère
- Lire les coordonnées du point d'intersection
- Vérifier par le calcul que ce couple est solution
On met chaque équation sous forme réduite, on trace, on lit l'intersection, puis on vérifie par le calcul.
Remettre dans l'ordre la résolution de l'inéquation 2x − 3 < 5 :
- Ajouter 3 aux deux membres : 2x < 8
- Diviser par 2 (positif, le sens ne change pas) : x < 4
- Écrire l'ensemble des solutions : ]−∞ ; 4[
On isole x en gardant le sens de l'inégalité (on divise par un nombre positif), puis on écrit l'intervalle solution.
Mots pour remettre la phrase dans l'ordre :
- Les solutions du système
- sont les couples communs
- aux ensembles de solutions
- de chaque équation
Les solutions du système correspondent à l'intersection des ensembles de solutions de chaque équation.