Utilisation de logiciels ou Python pour simuler ou tracer : vrai ou faux et Memory

Tracer une fonction aide à repérer où elle augmente ou diminue.

Vrai — Un graphe montre visuellement les intervalles de croissance et décroissance plus vite qu'un tableau de valeurs.

Une fonction est croissante si quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue.

Faux — Par définition, si \(x\) augmente et \(f(x)\) diminue alors la fonction est décroissante, pas croissante.

La fonction \(f(x)=2x+1\) est croissante.

Vrai — Le coefficient de \(x\) est positif donc \(f(x_2)-f(x_1)=2(x_2-x_1)>0\) pour \(x_2>x_1\).

La fonction \(g(x)=-3x+4\) est croissante.

Faux — Le coefficient de \(x\) est négatif donc \(g(x)\) diminue quand \(x\) augmente.

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a>0\), la parabole a un minimum.

Vrai — Si \(a>0\) la parabole s'ouvre vers le haut et son sommet est un minimum.

Le sommet d'une parabole a pour abscisse \(-\frac{b}{2a}\).

Vrai — Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\) l'abscisse du sommet s'écrit \(-\frac{b}{2a}\).

Si \(a<0\) la parabole s'ouvre vers le haut.

Faux — Lorsque \(a<0\) la parabole s'ouvre vers le bas et son sommet est un maximum.

Compléter le carré permet de déterminer exactement un extremum.

Vrai — Compléter le carré écrit la parabole sous forme \((x-x_0)^2+\text{constante}\), révélant valeur et abscisse du sommet.

Le sommet de \(h(x)=-(x-1)^2+5\) est un minimum.

Faux — Le coefficient devant \((x-1)^2\) est négatif, donc le sommet est un maximum en \(x=1\).

Un maillage très fin améliore la précision numérique d'un extremum estimé.

Vrai — Plus de points sur la grille donne une meilleure approximation du minimum au prix d'un coût de calcul accru.

Utiliser peu de points pour estimer un extremum est toujours suffisant et précis.

Faux — Un échantillonnage trop pauvre peut masquer un extremum étroit et donner une estimation erronée.

La fonction \(f(x)=x^2-4x+3\) a un minimum \(-1\) atteint en \(x=2\).

Vrai — On complète le carré \(x^2-4x+3=(x-2)^2-1\), donc le minimum vaut \(-1\) pour \(x=2\).

La tangente horizontale au sommet indique une pente nulle au sommet.

Vrai — Au sommet d'une parabole la dérivée (pente) est nulle, ce que montre la tangente horizontale.

Si le coefficient en \(x\) d'une droite est nul, la droite est constante, pas croissante.

Vrai — Pour une droite \(f(x)=mx+p\), si \(m=0\) alors \(f\) est constante sur son domaine.

Un point d'inflexion est forcément un extremum.

Faux — Un point d'inflexion change la concavité sans obligatoirement être un maximum ou minimum local.

Se fier seulement au tracé sans calcul peut conduire à des erreurs sur la nature d'un extremum.

Vrai — Le graphe peut être trompeur à cause de l'échelle ou de l'échantillonnage, il faut confirmer algébriquement.

np.argmin donne la position exacte du minimum sur l'ensemble réel.

Faux — np.argmin renvoie l'indice du minimum sur la grille discrète, donc ce n'est qu'une approximation numérique.

Augmenter \(a\) en gardant \(b\) et \(c\) fixes n'affecte jamais la raideur de la parabole.

Faux — Modifier \(a\) change la raideur: augmenter \(|a|\) rend la parabole plus raide.

L'échelle verticale n'affecte jamais l'apparence d'un extremum.

Faux — Une échelle verticale inadaptée peut faire paraître un extremum très plat ou pratiquement invisible.

np.argmin renverra le minimum exact pour n'importe quel maillage.

Faux — La précision de np.argmin dépend du pas du maillage; un maillage grossier donne une approximation imparfaite.