Utilisation du calcul littéral en modélisation : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre
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Révision : les 19 affirmations corrigées
Une variable représente une grandeur inconnue ou variable.
Vrai — Par définition du cours, une variable est un symbole pour une grandeur inconnue ou qui varie.
Une expression littérale combine des nombres, des lettres et des opérations.
Vrai — Le cours définit l'expression littérale comme une combinaison de nombres, de lettres et d'opérations.
La modélisation traduit une situation réelle en une expression ou une équation.
Vrai — La modélisation consiste précisément à transformer une situation concrète en expression ou équation mathématique.
Le périmètre d'un rectangle est \(P = 2 \times (L + l)\).
Vrai — La fiche donne cette formule standard du périmètre du rectangle.
Dans l'exemple, la largeur \(L_w\) vaut 6 cm.
Vrai — La résolution de l'équation dans l'exemple conduit à \(L_w = \frac{48}{8} = 6\) cm.
Dans l'exemple, la longueur \(L_{long}\) vaut 18 cm.
Vrai — Après avoir trouvé \(L_w = 6\), la longueur est \(L_{long} = 3 \times 6 = 18\) cm.
Pour résoudre on remplace \(L_{long}\) par \(3 \times L_w\) dans la formule du périmètre.
Vrai — La substitution de l'expression de la longueur dans la formule du périmètre est expliquée dans l'exemple.
Résoudre une équation consiste à isoler une variable pour trouver sa valeur.
Vrai — La fiche indique que résoudre une équation revient à manipuler algébriquement pour isoler la variable.
Il faut respecter la priorité des opérations dans les calculs littéraux.
Vrai — La fiche met en garde contre les erreurs en rappelant de respecter la priorité des opérations.
La variable doit toujours être notée \(x\).
Faux — Faux: le cours précise que une variable peut être représentée par n'importe quel symbole, pas seulement \(x\).
On calcule le périmètre du rectangle par \(P = L \times l\).
Faux — Faux: \(P = L \times l\) est le produit, alors que le périmètre est \(2 \times (L + l)\).
Il est sans conséquence d'oublier de remplacer une variable lors d'une substitution.
Faux — Faux: la fiche avertit que ne pas remplacer toutes les variables conduit à des résultats incorrects.
Dans l'exemple on obtient \(L_w = 8\) cm.
Faux — Faux: le calcul donne \(48 = 8 \times L_w\) donc \(L_w = 6\) cm, pas 8 cm.
On peut écrire \(P = 4 \times L\) pour tout rectangle.
Faux — Faux: \(P = 4 \times L\) n'est vrai que pour un carré, pas pour un rectangle général.
Une expression littérale ne contient jamais de nombres.
Faux — Faux: la définition précise que l'expression littérale combine nombres, lettres et opérations.
La résolution d'une équation ne nécessite pas d'algèbre, seulement de l'arithmétique.
Faux — Faux: la fiche insiste sur la manipulation algébrique pour isoler la variable.
La modélisation consiste uniquement à dessiner la situation.
Faux — Faux: la modélisation transforme la situation en expression ou équation, pas seulement en dessin.
La substitution consiste à additionner des expressions entre elles.
Faux — Faux: la substitution remplace une variable par son expression, ce n'est pas une somme d'expressions.
Remplacer \(L_w\) par 6 conduit à \(L_{long} = 6\) dans l'exemple.
Faux — Faux: remplacer donne \(L_{long} = 3 \times 6 = 18\), donc la longueur n'est pas 6.
Les 10 notions à retenir
- Variable
- Symbole représentant une grandeur inconnue ou variable.
- Expression littérale
- Combinaison de nombres, de lettres et d'opérations.
- Modélisation
- Transformation d'une situation réelle en expression ou équation.
- Résolution
- Manipulation algébrique pour isoler une variable.
- Périmètre rectangle
- Formule \(P = 2 \times (L + l)\).
- Substitution
- Remplacer une variable par son expression dans une équation.
- Priorité opérations
- Règles de l'ordre des calculs algébriques.
- Largeur (exemple)
- Dans l'exemple, \(L_w = 6\) cm.
- Longueur (exemple)
- Dans l'exemple, \(L_{long} = 18\) cm.
- Avantage calcul littéral
- Permet représenter et résoudre une situation concrète par équation.
Les 15 phrases à connaître
Une variable est un symbole représentant une grandeur inconnue ou variable.
Une variable est un symbole (souvent une lettre) qui représente une grandeur inconnue ou qui peut varier.
Une expression littérale est une combinaison de nombres, de lettres et d'opérations mathématiques.
Une expression littérale assemble nombres, lettres et opérations (addition, multiplication, etc.).
La modélisation consiste à traduire une situation réelle en une expression ou en une équation mathématique.
La modélisation traduit la situation concrète par une expression ou une équation utilisable en calcul.
La résolution d'une équation consiste à manipuler algébriquement pour trouver la inconnue.
Résoudre une équation vise à isoler et déterminer la valeur de l'inconnue.
Pour le rectangle, on note la largeur \(L_w\) et la longueur \(L_{long}\).
Dans l'exemple, la largeur est notée \(L_w\) et la longueur \(L_{long}\).
La relation entre longueur et largeur est \(L_{long} = 3 \times L_w\).
Le problème dit que la longueur est le triple de la largeur, d'où \(L_{long}=3\times L_w\).
La formule du périmètre d'un rectangle est \(P = 2 \times (L + l)\).
Le périmètre du rectangle additionne les quatre côtés : \(P=2\times(L+l)\).
En remplaçant \(L_{long}\) par \(3 \times L_w\) on obtient \(48 = 2 \times (L_w + 3 \times L_w)\).
On remplace la longueur dans la formule du périmètre pour obtenir l'équation donnée.
Après simplification, l'équation devient \(48 = 8 \times L_w\).
On simplifie \(2\times(L_w+3\times L_w)=2\times4\times L_w=8\times L_w\), d'où \(48=8\times L_w\).
La valeur de la largeur est 6 cm.
En calculant \(L_w=\dfrac{48}{8}=6\), on obtient la largeur de 6 cm.
La longueur calculée vaut 18 cm.
La longueur est le triple de la largeur donc \(L_{long}=3\times6=18\ \text{cm}\).
La démarche de modélisation commence par exprimer une relation avec des lettres.
On commence par exprimer la relation entre grandeurs à l'aide de lettres (variables).
Il faut respecter la priorité dans les calculs algébriques.
Respecter la priorité (ordre des opérations) est essentiel pour simplifier correctement les expressions.
Modéliser permet de représenter une situation concrète par une équation.
La modélisation traduit une situation concrète en expression ou en équation mathématique utilisable.
À retenir : on transforme une situation en équation pour trouver l'inconnu.
Transformer la situation en équation permet ensuite de résoudre et obtenir la valeur de l'inconnu.
Les 6 séries dans le bon ordre
Remets dans l'ordre les étapes pour résoudre le problème du rectangle (du début à la fin).
- Écrire la relation : \(L_{long} = 3 \times L_w\)
- Écrire l'expression du périmètre : \(P = 2 \times (L_w + L_{long})\)
- Remplacer \(L_{long}\) par \(3 \times L_w\)
- Simplifier l'équation et isoler \(L_w\)
- Calculer \(L_w = 6\ \text{cm}\)
- Calculer \(L_{long} = 18\ \text{cm}\) et conclure
Cet ordre suit la démarche : modéliser la relation, former l'équation, substituer, résoudre et interpréter la solution.
Classe ces étapes générales de modélisation et résolution (du début à la fin).
- Exprimer une relation avec des lettres
- Transformer la situation en équation
- Résoudre l'équation pour isoler la variable
- Interpréter la solution dans le contexte
La démarche générale va de l'expression de la relation à l'interprétation de la valeur trouvée.
Ordonne ces priorités dans les calculs algébriques (de la plus haute à la plus basse).
- Parenthèses
- Multiplications et divisions
- Additions et soustractions
L'ordre des opérations impose de traiter d'abord les parenthèses, puis multiplications/divisions, puis additions/soustractions.
Remets ces actions dans l'ordre d'une substitution correcte.
- Définir les variables
- Exprimer la partie connue en fonction de la variable
- Remplacer dans l'expression principale
- Simplifier et résoudre
On définit d'abord les variables, on exprime les relations, on remplace ensuite et enfin on résout.
Classe ces éléments du plus général au plus précis dans la résolution de problèmes.
- Modélisation
- Expression littérale
- Équation
- Résolution
- Valeur numérique
On passe de la modélisation générale à l'expression littérale, puis à l'équation et à la résolution numérique finale.
Ordonne ces expressions pour obtenir la simplification montrée dans l'exemple.
- \(48 = 2 \times (L_w + 3 \times L_w)\)
- \(48 = 2 \times 4 \times L_w\)
- \(48 = 8 \times L_w\)
- \(L_w = 6\ \text{cm}\)
Cet ordre suit la simplification étape par étape : développement intérieur, factorisation des nombres, puis isolation de \(L_w\).