valeur absolue : vrai ou faux, Memory, texte à trous et remets dans l'ordre

La valeur absolue mesure la distance à zéro.

Vrai — Par définition \(\lvert x\rvert\) est la distance du réel \(x\) à l'origine, donc toujours positive.

Pour tout réel x, \(\lvert x\rvert \ge 0\).

Vrai — C'est la propriété de non-négativité énoncée dans le cours.

Si \(\lvert x\rvert = 0\) alors \(x = 0\).

Vrai — La valeur absolue est nulle uniquement pour le nombre 0.

On a \(\lvert -x\rvert = \lvert x\rvert\) pour tout réel x.

Vrai — C'est la propriété de symétrie (fonction paire) expliquée dans le cours.

Multiplicativité : \(\lvert ab\rvert = \lvert a\rvert\,\lvert b\rvert\).

Vrai — La propriété multiplicative est donnée comme valable pour tous réels \(a,b\).

Inégalité triangulaire : \(\lvert a+b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\).

Vrai — L'inégalité triangulaire est une propriété fondamentale citée dans le cours.

La courbe de \(y=\lvert x\rvert\) a la forme d'un V.

Vrai — Le graphique de la valeur absolue est en V avec un sommet en 0.

Pour résoudre \(\lvert x-a\rvert = b\) avec \(b\ge 0\), on obtient \(x=a\pm b\).

Vrai — Le cours explique que \(\lvert x-a\rvert=b\) donne les solutions \(a+b\) et \(a-b\).

Si \(\lvert x\rvert = 4\) alors les solutions sont \(x=-4\) et \(x=4\).

Vrai — La valeur absolue égale 4 signifie distance 4 à zéro, donc \(\pm4\).

Si \(x<0\) alors \(\lvert x\rvert = -x\).

Vrai — D'après la définition par cas, quand \(x<0\) on prend l'opposé \(-x\).

Pour tous réels a,b, \(\lvert a-b\rvert = \lvert a\rvert - \lvert b\rvert\).

Faux — Le cours signale que \(\lvert a-b\rvert\) n'est pas égal en général à \(\lvert a\rvert-\lvert b\rvert\).

L'égalité \(\lvert a+b\rvert = \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\) est vraie pour tous réels.

Faux — L'égalité n'est vraie que dans des cas particuliers; en général seule l'inégalité triangulaire vaut.

On peut supprimer les cas positif/négatif quand on résout une équation avec une valeur absolue.

Faux — Le cours avertit de toujours considérer les deux cas pour respecter la définition par cas.

Si \(\lvert x\rvert = 0\) alors \(x\) peut être 1.

Faux — La seule solution de \(\lvert x\rvert=0\) est \(x=0\), pas 1.

La valeur absolue peut être négative.

Faux — Par non-négativité \(\lvert x\rvert\) est toujours supérieure ou égale à 0.

Pour tout réel x, \(\lvert x\rvert = x^2\).

Faux — La valeur absolue n'égale pas le carré en général, ce sont des fonctions différentes.

Si \(\lvert x-2\rvert = 5\) alors l'unique solution est \(x=7\).

Faux — En appliquant les deux cas on trouve \(x=7\) et \(x=-3\), donc pas une solution unique.

Pour tous réels a,b, \(\lvert a+b\rvert \ge \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\).

Faux — Ceci est l'inverse de l'inégalité triangulaire; en général on a \(\le\), pas \(\ge\).

Si a et b sont réels, \(\lvert ab\rvert = \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\).

Faux — La propriété correcte est multiplicative \(\lvert ab\rvert=\lvert a\rvert\,\lvert b\rvert\), pas additive.

La valeur absolue mesure la distance d'un nombre à zéro.

Par définition, la valeur absolue donne la distance d'un nombre à l'origine (zéro).

La notation de la valeur absolue de x est \(\lvert x\rvert\).

On note la valeur absolue par des barres verticales autour du nombre : \(\lvert x\rvert\).

Pour tout réel x, \(\lvert x\rvert = x\) si et seulement si \(x\ge 0\).

Selon la définition par cas, si x est positif ou nul alors \(\lvert x\rvert=x\).

Si x est négatif, alors \(\lvert x\rvert = \(-x\)\).

Quand x<0, on prend l'opposé de x pour rendre la valeur absolue positive : \(-x\).

La valeur absolue est toujours non-négative ou nulle.

On a pour tout réel x : \(\lvert x\rvert\ge0\), donc elle est non-négative.

La fonction x \(\mapsto\) \(\lvert x\rvert\) est une fonction paire.

La valeur absolue satisfait \(\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert\), donc la fonction est paire.

Propriété multiplicative : \(\lvert ab\rvert = \(\lvert a\rvert\,\lvert b\rvert\)\).

La valeur absolue du produit se factorise en produit des valeurs absolues.

Inégalité triangulaire : pour tous réels a,b, on a \(\lvert a+b\rvert \le \(\lvert a\rvert + \lvert b\rvert\)\).

L'inégalité triangulaire donne un majorant de \(\lvert a+b\rvert\) par la somme des modules.

L'équation \(\lvert x\rvert = 4\) a pour solutions \(\{-4,4\}\).

La distance à zéro vaut 4 donc x peut être 4 ou -4.

Pour résoudre \(\lvert x-2\rvert = 5\) on considère deux cas.

On examine les cas selon le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue (>=0 ou <0).

Les solutions de \(\lvert x-a\rvert = b\) sont \(x = \(a\pm b\)\) si \(b\ge0\).

L'équation donne deux solutions symétriques autour de a : \(a+b\) et \(a-b\).

Graphiquement, la courbe de \(y=\lvert x\rvert\) a la forme d'un V.

Le graphe de \(y=\lvert x\rvert\) est un 'V' formé par deux demi-droites.

Cas fréquent d'erreur : confondre \(\lvert a-b\rvert\) avec \(\lvert a\rvert - \lvert b\rvert\).

En général \(\lvert a-b\rvert\neq\lvert a\rvert-\lvert b\rvert\), il s'agit d'une erreur classique.

Non-négativité précise : \(\lvert x\rvert = 0\) si et seulement si \(x=0\).

La seule situation où la distance à zéro est nulle est lorsque x vaut 0.

Pour vérifier une solution d'une équation à valeur absolue, on remplace la valeur trouvée dans l'expression d'origine.

Remplacer la valeur dans l'expression initiale permet de contrôler qu'elle satisfait bien l'équation.