Vecteurs : direction, norme, coordonnées, relation de Chasles : vrai ou faux et Memory

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens, sa norme et éventuellement ses coordonnées.

Vrai — C'est la définition donnée : direction, sens, norme et éventuellement coordonnées caractérisent un vecteur.

La norme d'un vecteur peut être un nombre négatif.

Faux — La norme correspond à une longueur et est toujours positive ou nulle.

Si \(\vec{u}=(x,y)\) alors \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\).

Vrai — La formule de la norme en coordonnées dans le plan est bien \(\sqrt{x^2+y^2}\).

Pour calculer la direction on peut toujours utiliser \(\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\) même si \(x=0\).

Faux — La formule \(\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\) n'est pas valable quand \(x=0\) comme indiqué dans le cours.

La direction d'un vecteur correspond à la ligne dans laquelle il s'étend.

Vrai — Par définition la direction est la droite ou la ligne d'action du vecteur.

La direction et le sens d'un vecteur désignent la même chose.

Faux — La direction est la ligne d'action, le sens indique l'orientation sur cette ligne, ce sont deux notions différentes.

Dans un repère orthogonal, un vecteur peut s'exprimer par des coordonnées \((x,y)\) ou \((x,y,z)\).

Vrai — Le cours précise que dans un repère orthogonal on peut utiliser \((x,y)\) ou \((x,y,z)\) en espace.

La relation de Chasles s'écrit \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\).

Vrai — C'est l'énoncé direct de la relation de Chasles présenté dans le cours.

La somme de deux déplacements successifs est donnée par la relation de Chasles.

Vrai — Aller de A à B puis de B à C donne bien le déplacement direct A vers C par Chasles.

La relation de Chasles peut s'écrire \(\vec{AC}=\vec{AB}-\vec{BC}\).

Faux — La relation correcte est \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}\), pas une soustraction.

La somme de vecteurs dépend de l'ordre des termes.

Faux — L'addition de vecteurs est commutative, l'ordre des termes ne change pas le résultat.

La norme d'un vecteur est sa longueur.

Vrai — Le cours définit explicitement la norme comme la longueur du vecteur.

Si \(\vec{u}=(3,4)\) alors \(\|\vec{u}\|=7\).

Faux — En réalité \(\|\vec{u}\|=\sqrt{3^2+4^2}=5\), pas 7.

Un vecteur est toujours représenté par un segment non orienté.

Faux — Un vecteur est représenté par un segment orienté (avec une flèche) qui indique le sens.

Les coordonnées d'un vecteur existent uniquement dans un repère non orthogonal.

Faux — Le cours indique l'utilisation des coordonnées dans un repère orthogonal, pas seulement non orthogonal.

L'angle \(\theta\) mesure la direction du vecteur par rapport à l'axe des abscisses.

Vrai — Le cours indique que la direction est donnée par l'angle \(\theta\) avec l'axe des abscisses.

Pour un vecteur \((x,y)\), \(\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\) est toujours suffisante sans ajuster le quadrant.

Faux — La formule donnée nécessite de prendre en compte la condition sur \(x\) et l'orientation, donc des ajustements de quadrant peuvent être nécessaires.

La relation de Chasles facilite la compréhension des déplacements successifs.

Vrai — Le cours conclut que Chasles aide à comprendre comment combiner des déplacements successifs.

Un vecteur nul a une norme nulle et une direction bien définie.

Faux — Si la norme est nulle le vecteur n'a pas de direction définie utilement.

Les coordonnées d'un vecteur en espace s'écrivent \((x,y,z)\).

Vrai — Le cours mentionne que, en espace, on peut écrire les coordonnées d'un vecteur sous la forme \((x,y,z)\).