Comment calculer les angles orientés

Un angle orienté est un angle qui indique non seulement l'ouverture entre deux vecteurs ou deux segments, mais aussi la direction de cette rotation (dans le sens horaire ou antihoraire). La mesure se donne généralement en degrés, entre 0° et 360°, ou en radians, entre 0 et 2π.

Étapes pour calculer un angle orienté

1. Comprendre les vecteurs : Considérer deux vecteurs u et v, par exemple définis à partir d'un même point ou par leurs coordonnées.
2. Calculer le produit scalaire : u · v = u₁×v₁ + u₂×v₂
3. Calculer le module (longueur) de chaque vecteur : |u| = √(u₁² + u₂²), |v| = √(v₁² + v₂²)
4. Utiliser la formule pour l'angle :
   θ = arccos[(u · v) / (|u|×|v|)]
   Cela donne un angle entre 0° et 180° sans indication de la direction de rotation.
5. Prendre en compte l’orientation : Pour savoir si l’angle est dans le sens horaire ou antihoraire, il faut utiliser le produit vectoriel (en 2D) ou la fonction atan2.

Utilisation de atan2

La fonction atan2(y, x) permet de calculer l’angle d’un vecteur (x, y) avec l'axe horizontal, en prenant en compte le signe de x et y pour déterminer le bon quadrant. Elle donne directement l’angle orienté, entre -π et π (ou -180° et 180°).

Exemple :

Supposons deux vecteurs :

• u = (3, 2)
• v = (1, 4)

Pour calculer l’angle orienté de u vers v :

1. Calculer l’angle avec atan2 :
2. θ = atan2(v₂, v₁) - atan2(u₂, u₁)

Le résultat vous indiquera si la rotation de u vers v est dans le sens horaire ou antihoraire. Si θ est négatif, la rotation est dans le sens horaire ; si positif, dans le sens antihoraire.

Exercice :

Vérifie si tu peux calculer l’angle orienté entre u = (2, 3) et v = (4, 1) en utilisant la méthode de atan2. Qu’obtiens-tu comme résultat ?