Comment calculer les limite d'une fonction polynôme

Comment calculer la limite d'une fonction polynôme ?

Une fonction polynôme est une expression comme f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀.

Pour calculer la limite d'une fonction polynôme quand x tend vers un nombre a ou vers +∞ ou -∞, voici comment faire :

1. Limite en un point fini a

• Remplace simplement x par a dans la fonction :
  lim_x→a f(x) = f(a)
• Exemple : si f(x) = 2x + 3, alors lim_x→2 f(x) = 2×2 + 3 = 7.

2. Limite quand x tend vers +∞ ou -∞

• Regarde le terme de plus haut degré (le terme avec la puissance la plus grande). Son comportement domine la limite.
• Si le degré est n et le coefficient de ce terme est a_n :
• Si a_n > 0 et x → +∞, alors f(x) → +∞.
• Si a_n < 0 et x → +∞, alors f(x) → -∞.
• Si a_n ≠ 0 et x → -∞, alors le signe de la limite dépend aussi du degré n (pair ou impair).

Exemple :

Considérons f(x) = 3x⁴ - 5x + 2.

• Le terme de plus haut degré est 3x⁴.
• Quand x → +∞, f(x) → +∞ (car 3 > 0 et le degré 4 est pair).
• Quand x → -∞, f(x) → +∞ aussi, car le degré est pair et le coefficient est positif.

En résumé, pour une limite en un point fini, remplace x par ce point. Pour une limite à l'infini, regarde le terme de plus haut degré.