Comment calculer les limites en mathématiques

Une limite permet de connaître la valeur vers laquelle une fonction tend lorsque l'on s'approche d'un point donné.

Étapes pour calculer une limite

1. Identifier la limite à calculer : par exemple lim x→a f(x).
2. Remplacer directement : essayer de calculer f(a). Si le résultat est une valeur finie, c'est la limite.
3. Si remplacement donne une indétermination : utiliser des méthodes comme la factorisation, la simplification, ou la règle de l'Hôpital.

Exemples

Exemple 1 : Limite simple

Calculons lim x→3 (2x + 1)

• On remplace x par 3 : 2×3 + 1 = 6 + 1 = 7
• La limite est donc 7.

Exemple 2 : Limite avec une indétermination

Calculons lim x→2 (x² - 4) / (x - 2)

• En remplaçant x par 2, on obtient (4 - 4) / (2 - 2) = 0/0, indéterminé.
• Factorisons le numérateur : (x - 2)(x + 2)
• On simplifie avec le dénominateur : [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = x + 2 (pour x ≠ 2)
• Maintenant, on remplace x par 2 : 2 + 2 = 4
• La limite est 4.

Astuce

Souvent, si on ne peut pas calculer directement, il faut simplifier l'expression ou utiliser la règle de l'Hôpital si la limite donne une forme indéterminée du type 0/0 ou ∞/∞.

Exercice à vérifier

Calculez lim x→0 (sin x) / x

Indice : pensez à la règle de l'Hôpital ou à la connaissance particulière de cette limite.