Comprendre la multiplication d'un vecteur par un réel

La multiplication d'un vecteur par un nombre (appelé aussi un scalaire) permet de changer la longueur du vecteur, tout en conservant sa direction (sauf si le nombre est négatif). Voici comment cela fonctionne :

• Si le nombre est positif, la longueur du vecteur augmente ou diminue selon la valeur du nombre, mais sa direction reste la même.
• Si le nombre est négatif, la longueur change de signe, ce qui inverse la direction du vecteur. La longueur sera la valeur absolue du scalaire multipliée par la longueur initiale.

Exemple

Supposons que tu as un vecteur v de longueur 3, et que tu le multiplies par 2. La longueur du nouveau vecteur sera 2 × 3 = 6. Si tu multiplies v par -1, la longueur sera |-1| × 3 = 3, mais le vecteur aura la même longueur que v, simplement dans la direction opposée.

Comment faire cette multiplication ?

Pour multiplier un vecteur v = (x, y) par un nombre k :

• On multiplie chaque composante du vecteur par k :
• Le nouveau vecteur = (k×x, k×y)

Exercice

Le vecteur u = (4, 1). Que devient u après avoir été multiplié par -3 ?

Réponse : u = (-3 × 4, -3 × 1) = (-12, -3)