Comment déterminer la nature d'un triangle OAB avec deux affixes

Supposons que tu as un triangle OAB et que ses affixes, c'est-à-dire ses coordonnées complexes, sont Z₁ et Z₂. Ces affixes représentent respectivement les points A et B dans le plan.

Étape 1 : Trouver les affixes des points

• Z₁ = affixe du point A
• Z₂ = affixe du point B
• Le point O a pour affixe 0 (origine)

Étape 2 : Déterminer la nature du triangle

Le triangle OAB est formé par les points O, A et B. Pour déterminer sa nature, il faut examiner les longueurs des côtés :

• Le côté OA a pour longueur : |Z₁ - 0| = |Z₁|
• Le côté OB a pour longueur : |Z₂ - 0| = |Z₂|
• Le côté AB a pour longueur : |Z₂ - Z₁|

Étape 3 : Vérifier les égalités ou relations

Pour savoir si le triangle est :

• équilateral : tous les côtés sont égaux → |Z₁| = |Z₂| = |Z₂ - Z₁|
• isocele : deux côtés sont égaux → par exemple, si |Z₁| = |Z₂| ou si |Z₁| = |Z₂ - Z₁| ou |Z₂| = |Z₂ - Z₁|
• rectangle : si le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (théorème de Pythagore) :

  Par exemple, si :

  (|Z₂ - Z₁|)² = |Z₁|² + |Z₂|²

Exemple pour vérifier

Supposons que Z₁ = 3 + 4i et Z₂ = 4 + 3i

• OA = |3 + 4i| = √(3² + 4²) = 5
• OB = |4 + 3i| = 5
• AB = |(4 + 3i) - (3 + 4i)| = |1 - 1i| = √(1² + (-1)²) = √2 ≈ 1.41

Les côtés OA et OB sont égaux → triangle isocèle

Résumé :

Pour déterminer la nature du triangle OAB avec ses affixes Z₁ et Z₂, calcule |Z₁|, |Z₂| et |Z₂ - Z₁|, puis compare ces longueurs selon les critères ci-dessus.