Comment déterminer le sens de variation d'une fonction par intervalle

Pour savoir si une fonction augmente ou diminue sur un certain intervalle, il faut examiner sa dérivée. Voici la démarche étape par étape :

1. Calculer la dérivée de la fonction f(x), notée f'(x).
2. Étudier le signe de la dérivée :
   • si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors la fonction augmente sur cet intervalle
   • si f'(x) < 0 sur un intervalle, alors la fonction diminue sur cet intervalle
3. Déterminer les intervalles en trouvant les valeurs de x où f'(x) change de signe. Ces valeurs s’appellent les zéros de la dérivée.
4. Sentir le changement de signe :
   • Regarder si la dérivée passe de positive à négative : cela indique un maximum local.
   • Regarder si la dérivée passe de négative à positive : cela indique un minimum local.

Exemple :

Supposons que f(x) = x^3 - 3x + 1

• Calcul de la dérivée : f'(x) = 3x^2 - 3
• Résolution : 3x^2 - 3 = 0 → x^2 = 1 → x = -1 ou x = 1
• Étude du signe de f'(x) :
• Pour x < -1, par exemple x = -2 : f'(-2) = 3(4) -3 = 12-3=9 > 0, donc la fonction augmente sur (-∞, -1)
• Entre -1 et 1, par exemple x=0 : f'(0)= -3 < 0, donc la fonction diminue sur (-1, 1)
• Pour x > 1, par exemple x=2 : f'(2)= 3(4)-3=12-3=9 > 0, donc la fonction augmente sur (1, +∞)

Résumé :

• La fonction augmente où la dérivée est positive.
• La fonction diminue où la dérivée est négative.
• Les points où la dérivée change de signe indiquent des extrema locaux.

Exercice de vérification

Soit la fonction f(x) = x^2 - 4x + 3

• Calcule sa dérivée.
• Détermine sur quels intervalles elle augmente ou diminue.