Comment factoriser une fonction en utilisant la méthode de la division euclidienne

La division euclidienne permet de diviser un polynôme par un autre polynôme de degré 1 (par exemple, (x - a)). Lorsqu'on doit factoriser un polynôme, cette méthode aide à trouver ses facteurs en effectuant la division.

Étapes principales

1. Choisir un potentiel facteur : généralement, on teste si (x - a) est un facteur du polynôme. Pour cela, on calcule la valeur du polynôme en a.
2. Évaluer le polynôme en a : en remplaçant x par a dans le polynôme, si le résultat est 0, alors (x - a) est un facteur.
3. Diviser le polynôme par (x - a) : en utilisant la division euclidienne, on écrit le polynôme comme le produit de (x - a) et d’un autre polynôme, plus éventuellement un reste.
4. Répéter si besoin : on peut continuer à diviser le résultat pour décomposer complètement la fonction en facteurs premiers.

Exemple

Supposons que nous voulons factoriser le polynôme P(x) = x³ - 4x² + x + 6.

1. Choisir une valeur candidate pour a, par exemple a=1.
2. Calculons P(1) : 1³ - 4×1² + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 ≠ 0, donc (x - 1) n’est pas un facteur.
3. Testons a=2 : P(2) = 8 - 4×4 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0. Donc (x - 2) est un facteur !
4. Nous pouvons maintenant faire la division de P(x) par (x - 2) pour obtenir un polynôme du degré 2.
5. La division donne que P(x) = (x - 2) × (x² - 2x - 3), et on peut continuer à décomposer si possible.

Petit exercice pour vérifier

Divisez le polynôme P(x) = x² - 5x + 6 par (x - 2) en utilisant la division euclidienne. Quel est le quotient ?

Indice : commence par calculer P(2), puis effectue la division si P(2)=0.