Calculs avec les nombres rationnels

Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont des entiers et b différent de zéro.

Les opérations de base avec les nombres rationnels

1. L'addition

Pour additionner deux nombres rationnels :

• Si les dénominateurs sont les mêmes, tu additionnes simplement les numérateurs :
  (a/b) + (c/b) = (a + c) / b
• Sinon, tu rends les dénominateurs communs en trouvant leur PPCM (plus petit commun multiple) ou en croisant :
  (a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd

Exemple :

Calculons 2/3 + 4/5

Les dénominateurs ne sont pas égaux. On calcule donc :
(2×5 + 4×3) / (3×5) = (10 + 12) / 15 = 22/15

2. La soustraction

Le principe est le même que pour l'addition, mais en soustrayant :

• Si les dénominateurs sont égaux : (a/b) - (c/b) = (a - c) / b
• Sinon, : (a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd

Exemple :

Calculons 7/8 - 3/4

On rend les dénominateurs communs :
(7×2 - 3×4) / (8×2) = (14 - 12) / 16 = 2/16 = 1/8

3. La multiplication

Pour multiplier deux nombres rationnels :

• On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
  (a/b) × (c/d) = (a×c) / (b×d)

Exemple :

Calculons 3/4 × 2/5

Résultat : (3×2) / (4×5) = 6/20 = 3/10

4. La division

Pour diviser deux nombres rationnels :

• On multiplie par l'inverse du second :
  (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a×d) / (b×c)

Exemple :

Calculons (2/3) ÷ (4/5)

Résultat : (2×5) / (3×4) = 10 / 12 = 5/6

Petit exercice pour t'entraîner

Calcule :

(1/2) + (2/3)