Comment trouver l'ensemble de définition d'une fonction

Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction, il faut identifier tous les nombres pour lesquels la fonction est bien définie. En général, cela signifie :

• Éviter la division par zéro : si la fonction contient une division, assure-toi que le dénominateur ne devient jamais nul.
• Éviter l'obtention de racines carrées ou autres racines m≥0 : si la fonction contient une racine carrée (ou autre racine paire), l'expression à l'intérieur doit être positive ou nulle.
• Éviter les logarithmes de zéro ou négatif : si la fonction comporte un log, l'argument doit être strictement positif.

Pour faire concrètement, voici les étapes :

1. Repère les opérations qui pourraient poser problème (division, racines, log).
2. Écris l'inéquation correspondant à ces opérations.
3. Résous ces inéquations pour trouver toutes les valeurs de x possibles.
4. Soustrais ces valeurs de l'ensemble des nombres réels pour déterminer l'ensemble de définition.

Exemple

Considérons la fonction f(x) = 1 / (x - 3)

• Il y a une division, donc on doit éviter que le dénominateur soit zéro :
• x - 3 ≠ 0
• Donc, x ≠ 3

L'ensemble de définition de cette fonction est donc tous les nombres réels sauf 3, c’est-à-dire :

Ensemble de définition : ℝ \ {3} (tous les x réels sauf 3).

Exercice pour vérifier ta compréhension

Trouve l'ensemble de définition de la fonction :
g(x) = √(x + 2)

Pense à ce que doit être l'expression sous la racine, et à tout ce qui pourrait poser problème.