Comment justifier qu'un point appartient à une courbe

Pour savoir si un point P = (x0, y0) appartient à une courbe décrite de différentes manières, on utilise des vérifications simples selon la forme donnée.

Courbe décrite par une équation implicite F(x, y) = 0. On remplace x et y par x0 et y0 et on regarde si F(x0, y0) = 0.
Courbe décrite par une fonction explicite y = f(x). On calcule f(x0) et on compare à y0. Le point appartient s’il vaut y0 exactement.
Courbe paramétrique (x, y) = (g(t), h(t)). On cherche s’il existe un réel t tel que g(t) = x0 et h(t) = y0.

Exemple 1 : courbe donnée par une fonction explicite

Soit la courbe y = 2x + 1. Le point P = (4, 9) appartient-il ?

On calcule f(4) = 2 × 4 + 1 = 9. Or y0 = 9, donc 9 = 9. Donc P appartient à la courbe.

Remarque : pour une droite comme celle-ci, il suffit de remplacer x par la coordonnée x du point et de vérifier que le résultat coïncide avec la coordonnée y du point.

Exemple 2 : courbe donnée par une équation implicite ( cercle )

Considérons le cercle centré en l'origine et de rayon 5 : x au carré plus y au carré = 25.

Testeons deux points :

P1 = (3, 4) : 3 au carré + 4 au carré = 9 + 16 = 25. Donc P1 appartient.
P2 = (2, 3) : 2 au carré + 3 au carré = 4 + 9 = 13 ≠ 25. Donc P2 n'appartient pas.

Exercice rapide

Pour la courbe représentée par l'équation x au carré + y au carré = 25 ( un cercle de rayon 5 ), expliquer si les points suivants appartiennent à la courbe :

A. (3, 4) — oui ou non ?
B. (5, 0) — oui ou non ?

Exercice interactif : vérification sur une courbe simple

Pour la courbe y = x au carré ( c'est-a-dire y = x^2 ), vérifie si le point donné appartient en entrant x et y ci-dessous. Après avoir entré les valeurs, clique sur Vérifier.

Entrer x : Entrer y :

Astuce : pour y = x^2, le point appartient si y est égal au carré de x.